Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте правила треугольника и параллелограмма сложения векторов.

2. Укажите принципиальное различие в формулах для вычисления длины вектора в произвольном и декартовом базисах.

3. Чему равно скалярное произведение базисных векторов в декартовом базисе?

4. Чему равно векторное произведение базисных векторов в декартовом базисе?

5. Запишите условие компланарности векторов. Приведите пример.

6. Можно ли построить треугольник на векторах ?

7. Приведите пример условия, при выполнении которого из трех векторов можно образовать треугольник.

8. Докажите, что объем тетраэдра вычисляется по формуле .

9. Вычислите угол между векторами, совпадающими со скрещивающимися ребрами тетраэдра.

10. Как Вы считаете, произведение векторов (двойное векторное) является векторной величиной или скалярной?

Тема 1.3. Прямая и плоскость

Учебники: [1, гл. 2, §§ 1 - 3; 10, гл. 4, гл. 5, §§ 2 - 5; 16, гл. 2, §§ 1, 2, гл. 10,§§1,2(п.5),§3(п.7)].

Аудиторная работа: [2, Ms 6.17 (1 - 4), 6.18, 6.19 (1), 6.20 (1), 6.21 (1), 6.23 (1), 6.25 (1), 6.29, 6.34, 6.44 (1) - 6.47 (1), 6.50 (1), 6.51 (1), 6.60 (1) -6.62 (1), 6.70 (1), 6.72], [7, гл. 3, № 15, 18 (1 - 3), 19 (1 - 4), 23 (1), 24 (1), 26, 28 (1), 30 (1), 38, 41 (1), 47 (1)], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.180 (а) - 2.184 (а), 2.185, 2.186, 2.189, 2.197 (а), 2.198, 2.199 (а), 2.203 (а)], [28, занятия 6 (6.2.1 - 6.2.2), 7 (7.2.1 - 7.2.9), 8 (8.2.1 - 8.2.12), ].

Самостоятельная работа: [2, №№ 6.19 (2, 3), 6.20 (2 - 5), 6.21 (2, 3), 6.23 (2, 3), 6.24, 6.25 (2 - 5), 6.26, 6.30, 6.44 (2) - 6.47 (2), 6.50 (2 - 4),6.51 (2, 3), 6.60 (2, 3) - 6.62 (2, 3), 6.70 (2, 3), 6.73], [7, гл. 3, №№ 16, 18 (4 - 13), 19 (5 -11), 20, 21, 23 (2, 3), 24 (2, 3), 30 (2), 41 (2), 47 (2, 4), 48], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.180 (б) - 2.184 (б), 2.187 - 2.188, 2.197 (б), 2.200, 2.201, 2.203 (б), 2.124], [28, занятия 6 (6.2.1 - 6.2.4), 7, 8].

При изучении аналитической геометрии в пространстве возникают затруднения, связанные с недостаточностью пространственных представлений. В таких случаях полезно пользоваться пространственными моделями (тетрадь - плоскость; карандаш, ручка - прямая, отрезок прямой) и использовать их при разборе теоретического материала наравне с рисунками, приведенными в задачниках.

Различные виды уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору :

. (1.3.1)

Пример 1.3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Используя уравнение (1.3.1), получим

, или 2х – у + 4z – 12 = 0.

Пример 1.3.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Плоскость параллельна векторам и , поэтому вектор нормали к плоскости равен векторному произведению векторов и на-ходится по формуле (1.2.10): .

Уравнение искомой плоскости (1.3.1) принимает вид

-2(x-l)-6(y-2)+5(z-3) = 0, или -2х- 6у + 5z- 1 = 0.

2. Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D = 0. (1.3.2)

В этом уравнении коэффициенты А, В, С – координаты вектора , перпендикулярного плоскости.

3. Уравнение плоскости в отрезках

. (1.3.3)

Числа а, b, с равны величинам направленных отрезков, отсекаемых на осях координат.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , не лежащие на одной прямой

(1.3.4)

Пример 1.3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

Решение. В соответствии с уравнением (1.3.4) получаем

=2(x-1)-2(y-2)-(z-3)=2x-2y-z+5=0

и есть уравнение искомой плоскости.