Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение несобственного интеграла первого рода. Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости несобственного инте­грала первого рода. Чем он отличается от достаточных признаков сходи­мости?

3. Приведите признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода.

4. Дайте определение несобственного интеграла второго рода в случаях, ко­гда особая точка функции расположена:

а) на левом конце интервала интегрирования;

б) на правом конце интервала интегрирования;

в) внутри интервала интегрирования.

5. Сформулируйте признаки сравнения сходимости несобственных интегра­лов второго рода.

6. Приведите модельные интегралы, которые используются в признаках сравнения несобственных интегралов первого и второго рода. При каких значениях параметра а они сходятся и при каких расходятся?

Раздел 5. Дифференциальные уравнения

Тема 5.1. Уравнения первого порядка

Учебники: [16, гл. 15, §§ 1 - 2], [22, гл. 1, §§ 1 - 7], [17, гл. 13, §§3-9, 13, 14].

Аудиторная работа: [20, гл. 9, § 1; №№ 9, 26, 28, 45, 55, 65, 77, 84, 87, 98, 129], [15, гл. 12, §§ 2, 3, 6, №№ 2062, 2067, 2084, 2095, 2097, 2104, 2156 (2)], [30, задание 1, п. 1.1: №№ 2, 6; п. 1.2: № 8; п. 1.3: № 3; п. 1.4: №№ 5, 10; п. 1.5: №2].

Самостоятельная работа: [20, гл. 9, § 1, №№ 9, 22 - 25, 43, 44, 46 - 54, 64, 66, 67 - 73, 83, 85, 86, 88, 96, 102, 122, 124], [15, гл. 12, §§ 2, 3, 6, №№ 2061, 2063 - 2066, 2093 - 2103, 2105, 2155, 2156], [30, задание 1, п. 1.1: №№ 1 - 10; п. 1.2: №№ 1 - 7; п. 1.3: №№ 1 - 5; п. 1.4: №№ 1 - 12; п. 1.5: №№ 3 - 6].

Указания

Перед изучением этого раздела рекомендуется основательно вспомнить дифференцирование и интегрирование функции одной вещественной пере­менной. Студент должен уметь:

а) находить производные от достаточно сложных элементарных функ­ций;

б) интегрировать дробно-линейные, тригонометрические, простейшие иррациональные функции;

в) пользоваться формулами интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется функцио­нальное уравнение F(x,y,y') = 0 или у' = f(x,у), связывающее между собой независимую переменную х , искомую функцию у = у(х) и ее производную .

Решением данного уравнения называется любая функция у = φ(х), ко­торая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной у' = (φ(x))^’, обращает его в тождество. Например, функция есть решение дифференциального уравнения ху' + у = cosx, т. к.

.

Дифференциальное уравнение имеет бесконечное количество решений; на­пример, из простейшего уравнения у^’ = х² сразу найдем с помощью интегрирования .

Общее решение уравнения является записью всего многообразия его решений; оно включает произвольную постоянную. Придавая ей конкретные численные значения, получаем частные решения.

Задача о нахождении частного решения уравнения при заданном на­чальном условии называется задачей Коши.

Пример 5.1.1. Найти решение уравнения у' = х², удовлетворяющее ус­ловию y(l) = 2. Из общего решения при подстановке вместо х единицы, по­лучим 1/3 + С = 2, следовательно, С = 5/3. Искомое частное решение: y=(x³+5)/3.

Уравнение считается проинтегрированным в квадратурах, если общее решение получено в явной или в неявной форме, которая может содержать еще не взятые интегралы от известных функций.

Имеется несколько классов уравнений, интегрируемых в квадратурах. Это так называемые уравнения с разделяющимися переменными, однород­ные, в полных дифференциалах, линейные относительно у и у^’, Бернулли,

Лагранжа, Клеро и некоторые другие [16, гл. 15, § 4].