Тема 7.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
Учебники: [16, гл. 17, §§ 5.32 - 5.34], [19, гл. 1, §§ 9 - 11], [28, гл. 2].
Аудиторная работа: [7, гл. 4, § 9.4, №№ 272, 276, 280, 282 (а)], [20, ч. 2, гл. 12, §§ 7.3 - 7.4, №№ 12. 513, 12.520], [31, №№ 191, 198, 213, 216, 221, 232, 244].
Самостоятельная работа: [7, гл. 4, § 9.4, №№ 273 - 275, 277, 282 (б)], [20, ч. 2, гл. 12, §§ 7.3 - 7.4, №№ 12. 514, 12.515], [31, №№ 195, 196, 214, 218, 224, 225, 228, 235, 242].
Функция f(x),
абсолютно
интегрируемая на всей вещественной оси
и кусочно-непрерывная на каждом конечном
отрезке этой оси, может быть представлена
в виде интеграла Фурье
,
(7.4.1)
где
.
(7.4.2)
В случае четной функции (f(-х) = f(х))
,
(7.4.3)
а в случае нечетной функции (f(-х) = -f(x))
,
(7.4.4)
Пример 7.4.1.
Представить
функцию
интегралом
Фурье, продолжив ее на отрицательную
полуось четным образом.
Решение. График функции изображен на рис. 7.4.1.
Продолжение на отрицательную полуось функции f(x) проведено четным образом, поэтому, воспользуясь формулой (7.4.3) (B(z) = 0), получим
Таким образом,
.
Если задана функция f(x), то функцию
(7.4.5)
называют преобразованием Фурье функции f(x), а обратное преобразование Фурье имеет вид
(7.4.6)
Для четных функций имеет место косинус-преобразование Фурье
(7.4.7)
и обратное косинус-преобразование Фурье
. (7.4.8)
Для нечетных функций записывается синус-преобразование Фурье
(7.4.9)
и обратное синус-преобразование Фурье
. (7.4.10)
Пример 7.4.2. Найти преобразование Фурье функции
Решение. По формуле (7.4.5) находим
Пример 7.4.3. Решить интегральное уравнение
,
где
Решением
интегрального уравнения будет
синус-преобразование Фурье (7.4.9)
функции
,
а именно:
Замечание. В
ряде учебников [16, 19] преобразование
Фурье (7.4.5) записывают в виде
,
тогда обратное
преобразование Фурье (7.4.6) имеет вид
.
Вопросы для самопроверки
Приведите различные формы записи преобразования Фурье.
В чем состоит различие между представлениями функций в виде ряда и в виде интеграла Фурье?
Сформулируйте основные свойства преобразования Фурье.
После изучения тем раздела 7 студент должен выполнить задания № 3 контрольной работы № 4.
Дополнение 7.1. Образец выполнения и оформления
контрольной работы №4
«Кратные интегралы. Ряды Фурье»
Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования:
Решение. Изобразим на чертеже (рис. Д.7.1) линии x = y2 -1 и x = 5 - y (или y2 = x + 1, x + y = 5). Первая – представляет собой параболу с вершиной (-1,0), ветви направлены вправо вдоль оси ОХ. Решая систему
находим координаты точек пересечения: А(3,2), (8,-3).
Для изменения
порядка интегрирования область D
следует «разрезать» на две части D1
и D2
(D1
соответствует x
є
[-1,3]),
поскольку в D1
и D2
при фиксированном x
= const
линия входа будет одна и та же
,
а линии выхода – разные:
при x<3
и y
= 5 - x
при x>3.
Имеем
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 и z = 4x. Тело (G) ограничено параболоидом вращения и наклонной плоскостью, проходящей через его вершину,
Решение. Исключая
z
из системы
получим x2+y2=4x.
На плоскости XOY это уравнение задает окружность, центр которой смещен на две единицы вправо по оси ОХ. Ограниченный этой окружностью круг представляет собой проекцию (G) на XOY. Вычисление удобнее проводить в цилиндрических координатах
Уравнение линии
x2+y2=4x
преобразуем к виду ρ2
= 4ρcosφ,
или ρ = 4cosφ.
Из условия ρ ≥ 0 видно, что φ ≥ 0, т.е.
.
Для того, чтобы лучше представить себе
пределы интегрирования по z,
целесообразно сделать рисунок.
Здесь пределы по φ взяты из , по ρ - от входа ρ=0 до ρ из уравнения окружности,
Имеем:
Ответ: V = 8π (ед3).
3. Найти площадь части сферы x2 + y2 + z2 = 9, вырезанной цилиндром x2 + y2 = 3y.
Решение.
Прежде всего, обратим внимание на то,
что поверхность состоит из двух частей,
симметричных относительно плоскости
z
= 0. Достаточно найти площадь части
,
а ответ умножить на 2.
где D
- проекция части сферы на плоскость
XOY.
В нашем случае D
представляет собой круг, ограниченный
линией x2
+ y2
= 3y.
Поскольку из уравнения верхней части
сферы
имеем
площадь будет равна
Этот интеграл проще вычисляется в полярных координатах. Запишем уравнение кривой x2 + y2 = 3y: x = ρcosφ, y = ρsinφ, ρ2 = 3ρsinφ, или ρ = 3sinφ.
Заметим, что ρ ≥ 0, поэтому sinφ ≥ 0, φє[0;π].
Для упрощения вычислений обратим внимание на симметрию линии ρ = 3sinφ относительно вертикальной оси.
Осталось домножить ответ на 2.
S = 2S1 = 18(π-2) (ед2).
Ответ: 18(π-2)ед2.
4. Найти производную
скалярного поля
в точке М0(2;1;1)
по направлению прямой
в сторону возрастания поля.
Решение.
Найдем
по формуле
,
где
градиент
скалярного поля
- единичный вектор
направления (1;0;2), т.е.
.
Ответ:
.
5. Найти векторную
линию поля
,
которая проходит через точку (3;0;0).
Векторная линия
поля
– это
линия, в каждой точке которой касательная
имеет направление поля
.
Векторные линии определяются из системы
дифференциальных уравнений.
В нашем случае
Разделив переменные, имеем:
x2 = -y2 + c12, x2 + y2 = c12.
Для того, чтобы
решить уравнение
,
удобнее уравнение x2
+ y2
= c12
преобразовать к виду x
= c1cost,
y
=c1sint.
Тогда
Уравнение векторных
линий
.
Точка (3;0;0) соответствует значению t = 0, тогда c1 = 3, c2 =0.
Ответ. x = 3cost, y =3sint, z = 2t.
6.
Найти поток векторного поля
через часть боковой поверхности конуса
z2
= x2
+ y2,
ограниченную плоскостями .
Решение.
Первый способ. Поток можно найти
непосредственно из определения в виде
интеграла по площади поверхности:
1) Находим единичный
вектор нормали
к поверхности z2
= x2
+ y2
или x2
+ y2
- z2
= 0(f(x,y,z)
= 0).
2) Находим
.
3) Выразим z
из уравнения конуса (для z≥0)
,
находим dσ:
4) Обозначим через D проекцию S на OXY. Поскольку z=1 ограничивает поверхность z2 = x2 + y2, то D будет ограничена окружностью x2 + y2 = 1.
Здесь следует выразить z из уравнения поверхности .
Переходим к полярным координатам:
Второй способ. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса
Искомый поток
найдем
как разность потоков
через
замкнутую поверхность
и
потока через «крышку», т.е. через часть
плоскости z=1.
Находим
1)
.
Удобно перейти к цилиндрическим
координатам x
= ρcosφ,
y
= ρsinφ,
z
= z.
Пределы интегрирования φє[0;2π],
ρє[0;1]
(см. проекцию конуса на XOY),
,
т.е. zє[ρ;1].
2) Найдем поток
через «крышку» z=1,
у которой вектором нормали является
,
а dσ
= dxdy.
Найдем
3) Находим
.
Как видно, ответы совпадают при двух способах вычисления.
Ответ: -π/3.
7. Убедимся в том, что поле потенциально и найти его потенциал.
Решение. Находим
при всех x, y, z . Следовательно, поле - безвихревое.
Задача нахождения
потенциала u
поля
(т.е.
)
равносильна задаче восстановления
функции u(x,
y,
z)
по ее полному дифференциалу
.
В силу того, что
- безвихревое, интеграл не зависит от
пути интегрирования, поэтому в качестве
пути удобно взять ломаную
где L1 - отрезок, соединяющий (0;0;0) и (х;0;0) (здесь dy=0, dz=0, y=0, z=0),
L2 - соединяет (х;0;0) и (х;у;0) (здесь dx=0, dz=0, z=0) и, наконец, L3 соединяет (х;0;0) и (х;у;z) (здесь dx=0, dy=0). Имеем:
Потенциал поля определен с точностью до константы:
u(x,y,z)=-x+x3y2z+C.
8. Исследовать на сходимость числовые ряды:
а)
б)
Решение.
а) Общий член ряда
имеет вид
(см. формулу (7.1.1)).
Поскольку
, а ряд
сходится, то по признаку сравнения
исходный ряд также сходится.
б) Предложенный ряд – это знакочередующийся ряд (7.1.2), для которого
Исследуем ряд на абсолютную сходимость, используя предельный признак сравнения.
;
ряд
– расходится (гармоничный ряд),
.
Ряды
и
ведут
себя одинаково. Следовательно, ряд
расходится и абсолютной сходимости
нет.
Условную сходимость проверим по признаку Лейбница:
т.е. члены ряда
образуют убывающую последовательность.
Поэтому по признаку Лейбница ряд
условно сходится.
9. Определить
область сходимости функционального
ряда
.
Решение. Данный ряд – степенной ряд. Радиус сходимости находим по формуле (7.2.1):
Таким образом, ряд сходится, если |x-4| < 2 или -2<x-4<2, 2<x<6.
Проверим сходимость в граничных точках интервала сходимости:
- ряд абсолютно сходится;
- ряд абсолютно сходится.
Ответ: функциональный ряд сходится при всех значениях xє[2;6].
10. Найти сумму
ряда
.
Решение. Обозначим сумму исходного ряда S(x). Прежде всего необходимо найти область сходимости исходного ряда. Предложенный ряд – это степенной ряд, радиус сходимости R=1 (см. решение примера 9). Поэтому |x|<1 (при х =±1 ряд расходится). Таким образом, сумма исходного ряда может быть найдена лишь при значениях хє(-1;1).
Преобразуем исходный ряд к виду
Последний ряд просуммирован сразу, т.к. является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b1 = 1 и знаменателем прогрессии q(x)=x, |q(x)|<1.
Вычислим S2(x),
предварительно проинтегрировав
соответствующий ряд
.
Отсюда
.
Вычислим S1(x), предварительно дважды проинтегрировав ряд
Откуда
Таким образом,
11. Вычислить
интеграл
с точностью до ε=10-3.
Решение.
Задача, аналогичная данной, рассмотрена
в примере 7.2.4 (см.тему 7.2). Оценку остатка
ряда (остаточный член) следует производить
по формуле
,
т.к. в данном случае будет получен
числовой ряд с положительными членами.
12. Функцию
разложить в ряд Фурье по косинусам.
Построить график суммы ряда.
Решение. В промежутке [-2,0) продолжим функцию f(x) четным образом. Ряд Фурье будет иметь вид
т.к.
l =
2 
Таким образом,
.
График суммы ряда имеет вид (рис. Д.7.1).
13. Найти
косинус-преобразование Фурье функции
Решение. Функцию f(x) продолжим на отрицательную полуось четным образом и косинус-преобразование Фурье будем искать для функции
По формуле (7.4.7) находим
14. Найти первые
три отличных от нуля члена разложения
в степенной ряд решения дифференциального
уравнения
.
Решение дифференциального уравнения ищем в идее
Таким образом,
.