Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение равномерной сходимости ряда.

2. Сформулируйте и докажите признак Вейерштрасса равномерной сходи­мости.

3. Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

4. Сформулируйте теоремы о почленном дифференцировании и интегриро­вании степенных рядов.

5. Выведите формулу Эйлера.

6. Изложите методы, применяемые для приближенного вычисления опреде­ленных интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Тема 7.3. Ряды Фурье

Учебники: [16, гл. 17, § 4.20 - 4.27], [19, гл. 1, § 1 - 2, 4 - 6], [28, гл. 1, §1.1-1.14].

Аудиторная работа: [3, №№4367,4372,4373,4376,4391], [7, кн. 2, гл. 4, § 9.1 - 9.3, № 264, 266 (а), 267 (а), 268 (а), 269], [20, ч.2, гл. 12, § 7.1, № 12.480, 12.482, 12.487, 12.495, 12.497, 12.502], [31, № 1, 2, 4, 25, 55, 75, 87, 96, 121,133, 140, 147, 161, 162, 189].

Самостоятельная работа: [3, №№4368, 4370, 4379, 4375, 4377, 4382, 4392], [7, кн. 2, гл. 4, § 9.1 - 9.3, № 265, 266 (б), 268 (б), 270, 271], [20, ч.2, гл. 12, § 7.1, № 12.481, 12.484, 12.488, 12.493, 12.498], [31, № 7, 21, 29, 33, 42, 56, 57, 80, 90, 98, 124, 134, 142, 154, 162, 168, 185, 190].

Значение тригонометрических рядов проявляется в приложениях при решении задач математической физики (колебание струны, распространение тепла), в электротехнике, метрологии и в других науках. Чаще всего триго­нометрические ряды используются при изучении периодических процессов, поэтому важно освоить технику разложения функций периода 2л, 21.

Рядом Фурье функции f(x), хє(-π,π) называется ряд вида

, (7.3.1)

где коэффициенты а_n, b_n, вычисляются по формулам

. (7.3.2)

Если функция f(x) задана на промежутке (-l,l), то ряд Фурье этой функции записывается в виде

, (7.3.3)

а коэффициенты а_n и b_n вычисляются по формулам

(7.3.4)

Пример 7.3.1. В промежутке хє(-2,2) разложить в ряд Фурье функ­цию f(x)=1/2 x + 3. Построить график суммы ряда.

Решение. Разложение (7.3.3) имеет вид

, т. к. 2l = 4, l = 2, а коэффициенты а_n и b_n вычисляем по формулам 7.3.4( 1 = 2):

Таким образом, , а график суммы ряда изображен на рис. 7.3.1.

Пример 7.3.2. Функцию f(x) = e^-х, хє(0,l) разложить в ряд Фурье по синусам. Построить график суммы ряда.

Решение. В промежутке (-1,0) функцию f(x) продолжим нечетным образом (ряд Фурье по синусам).

Ряд Фурье будет иметь вид , т. к. l = 1, а_n = 0,

т.к. f(x) на промежутке - нечетная функция.

Таким образом, откуда или .

Подставляя значение b_n в ряд, получим

.

.

График суммы ряда изображен на рис. 7.3.2.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте условия Дирихле и теорему Дирихле.

2. В чем состоит особенность разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций?

3. Выведите формулу для коэффициентов Фурье.

4. Приведите пример ортогональной системы функций на промежутке (-к,к).

5. Запишите ряд Фурье в комплексной форме.

6 Запишите равенство Парсеваля для функций, заданных на промежутке

(-7EJC).