6.4.3. Формула Грина

Литература: [3, №№3822 – 3830; 5, гл. 3, §§ 3.6 – 3.7; 6, гл.4, §3].

Пусть граница Г плоской ограниченной области G состоит из конечного набора кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции P, Q, P^’_x, Q^’_y непрерывны на G^*, справедлива формула Грина

(6.4.15)

где контур Г ориентирован, так что при его обходе область G остается слева.

Пример 6.4.3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл , где Г – окружность x² + y² = R², пробегаемая против хода часовой стрелки.

Решение. При вычислении воспользуемся формулой (6.4.15), где

Следовательно,

6.4.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Литература: [3, №№3831 – 3860; 6, гл. 4, §4].

Если функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны в плоской области G, то криволинейный интеграл

(6.4.16)

не зависит от пути интегрирования Г тогда и только тогда, когда выражение P(x;y)dx + Q(x;y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u=u(x;y), то есть в области G выполняется условие

или (6.4.17)

При этом

(6.4.18)

Здесь

(6.4.19)

где Г_МоМ – некоторая кривая с началом в фиксированной точке М₀(х₀;у₀) и концом в точке М(х;у), лежащей в области G.

Пусть функции P; Q; непрерывны в плоской области G. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл (6.4.16) не зависел от пути интегрирования, необходимо, а в случае односвязности G и достаточно, чтобы в области выполнялось условие

(6.4.20)

Пример 6.4.4. Показать, что криволинейный интеграл , где А(1;-2), В(2;3) не зависит от пути интегрирования, и вычислить этот интеграл.

Решение. Так как функции непрерывны в R² и выполняется условие (6.4.20), то интеграл не зависит от пути интегрирования и выражается формулой (6.4.18). Функцию u(x;y) можно найти по формуле (6.4.19), но в связи с тем, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом: (3x² + y)dx + (x³ + x)dy = (3x²ydx + x³dy) + (ydy + xdy) = d(x³y) + d(xy) = d(x³y + xy) = dU, то интеграл вычисляется по формуле (6.4.18): I = u(B) – u(A) = 30 – (-4) = 34.

Тема 6.5. Элементы векторного анализа

6.5.1. Скалярные и векторные поля

Литература: [3, №№4401 – 4404; 6, гл. 6, §§ 1 – 2; 20, гл.2, §§ 1 - 6].

Пусть Ω - область в трехмерном пространстве. Скалярным полем на Ω называют числовую функцию u(M), заданную на точках MєΩ. Векторным полем на Ω называют векторную функцию а(М), заданную на точках MєΩ.

Если в пространстве введена декартова система координат, то скалярное поле или векторное поле а(М) на Ω становится функциями координат точек: u(x;y;z), a(x;y;z) = (a_x(x;y;z); a_y(x;y;z); a_z(x;y;z)).

При выборе другой декартовой системы координат меняются координаты точек М(x;y;z) на М(x;y;z).

Множество точек поля М, заданное уравнением u(x;y;z)=const, называется поверхностью уровня скалярного поля u.

Векторной, или силовой линией векторного поля а называют гладкую кривую, которая в каждой своей точке М касается вектора поля а(М). Если r=(x;y;z) - радиус-вектор переменной векторной линии поля a=(a_x;a_y;a_z), то

(6.5.1)

- дифференциальное уравнение силовых (векторных) линий.

Пусть γ – плоская кусочно-глакая простая замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля а. Поверхность, образованную векторными линиями, пересекающими γ, называют векторной трубкой поля а.