Тема 6.4. Криволинейные интегралы

6.4.1. Криволинейные интегралы первого рода

Литература: [3, №№3770 – 3783, 3784 – 3789, 3792 - 3797; 5, гл. 3, §§ 3.1 – 3.2; 6, гл.4, §1; 20, гл. 2, § 5].

Пусть спрямляемая кривая Г задана уравнением

r = r(s), 0 ≤ s ≤ S, (6.4.1)

где s - переменная длина дуги этой кривой. Тогда, если на кривой Г определена функция F, то число называют криволинейным интегралом первого рода (по дуге) от функции по кривой Г и обозначают

(6.4.2)

Интеграл (6.4.2) существует, если функция F непрерывна на кривой Г.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой:

2. Если кривая Г есть объединение конечного числа кривых Г₁,…,Г_n, а функция F непрерывна на Г, то

(6.4.3)

3. Если гладкая кривая Г задана уравнением

r = r(t), α ≤ t ≤ β, (6.4.4)

а функция F непрерывна на Г, то

(6.4.5)

Если гладкая плоская кривая Г задана уравнением

y = f(x), a ≤ t ≤ b, (6.4.6)

то

(6.4.7)

Аналогично, если гладкая плоская кривая Г задана уравнением x =φ(y), c ≤ y ≤ d то

(6.4.8)

Пример 6.4.1. Вычислить криволинейный интеграл , где Г – граница треугольника (рис. 6.4.1) с вершинами О(0;0), А(1;0), В(1;1).

Решение. Пусть I₁, I₂, I₃ - криволинейные интегралы от функции по отрезкам АВ, ВО, ОА соответственно. Так как отрезок АВ задается уравнением x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, то по формуле (6.4.8) получаем

Отрезки ОВ и ОА задаются, соответственно, уравнениями

y = x, 0 ≤ y ≤ 1, y = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

По формуле (6.4.7) находим

Следовательно, I = I₁ + I₂ +I₃ = 2 + √2.

6.4.2. Криволинейные интегралы второго рода

Литература: [3, №№3806 – 3821, 3861 – 3868; 5, гл. 3, § 3.3; 6, гл.4, §2; 20, гл. 2, § 5].

Пусть гладкая ориентированная кривая Г задана уравнением (6.4.1). Тогда

(6.4.9)

- единичный вектор касательной к этой кривой. Здесь α, β, γ - углы, образованные касательной с координатными осями OX, OY, OZ соответственно.

Если на кривой Г определена вектор-функция F = (P; Q; R), такая, что для скалярной функции F_τ = (F, τ) = Pcosα + Qcosβ + Rcosγ существует

(6.4.10)

то данный интеграл называют криволинейным интегралом второго рода (по координатам) от функции F по кривой Г и обозначают . Таким образом, по определению

(6.4.11)

Свойства криволинейных интегралов второго рода

1. При изменении ориентации кривой на противоположную криволинейный интеграл второго рода изменяет знак.

2. Если гладкая кривая Г задана уравнением (6.4.4.), а вектор-функция F=(P;Q;R) непрерывна на Г, то

(6.4.12)

В случае, когда Г – плоская гладкая кривая, заданная уравнением (6.4.6), из формулы (6.4.11) следует:

(6.4.13)

(6.4.14)

Пример 6.4.2. Вычислить криволинейный интеграл по кривой Г с начала в т.О(0;0) и концом в т.А(1;1), если (рис. 6.4.2): 1) Г – отрезок ОА; 2) Г – дуга параболы y = x²; 3) Г – дуга окружности радиусом 1 и с центром в точке (1;0).

Так как отрезок ОА задается уравнением y = x, 0 ≤ y ≤ 1, то, пользуясь формулами (6.4.13) и (6.4.14), находим:

1.

2. Если Г – дуга параболы, то .

3. Так как уравнение дуги окружности записывается в виде x = 1 + cost, y = sint, где t є [π;π/2], то по формуле (6.4.12) получаем