6.2.5. Вычисление объёмов тел с помощью двойного интеграла

Литература: [3, №№ 3580 - 3596; 5, гл. 2, § 2.12; 6, гл. 1, § 4].

Установлено (подразд. 6.2.1), что объём цилиндрического тела, огра­ниченного поверхностями z= 0, z =f(х,у) >0 и боковой поверхностью ци­линдра, равен

.

Если в области D существуют подобласти D_k (k=l,...,n), где f(x,y)≤0, то объём тела

. (6.2.23)

Если вычислить интеграл, не учитывая знаки модуля, то он будет равен разнице объёмов тел, расположенных выше и ниже плоскости координат 0XY. Если же тело ограничено сверху и снизу поверхностями z₁ =f₁(x,y) и z₂ = f₂(х,у) так, что f₂(x,y)≥f₁(x,y) : (x,y)є(D), где D - проекция поверхно­стей z₁ и z₂ на координатную плоскость (например ОXY), то объём замкну­того тела

, (6.2.24)

где V₁ и V₂ - объёмы цилиндрических тел, ограниченных поверхностями V₁: {z = 0; z₁ =f₁(x,y)}; V₂: {z = 0; z₂=f₂(x,y)}. Формула (6.2.24) справедлива, если в области D функции z₁ и z₂ прини­мают и отрицательные значения, но так, чтобы z₂ ≥ z₁.

Иногда необходимо вычислить объём цилиндрического тела, обра­зующие которого перпендикулярны координатной плоскости 0YZ (или 0XZ. Тогда цилиндр ограничивают поверхностями x = φ(y,z), x = 0 я объём вычис­ляется по формуле

. (6.2.25)

Пример 6.2.4. Найти объём тела, ограниченного поверхностями V: {z = 9 - х²; х=0; у=0; z=0; Зх + 4у = 12; у≥0}. Поверхность z = 9 - у² - ци­линдр; х = 0; у = 0; z = 0 - координатные плоскости; 3х + 4у = 12 - плос­кость, параллельная оси Oz, оставляющая на плоскости 0XY след с тем же уравнением.

Решение. Рассмотрим один из вариантов решения этой задачи. Пусть область V проектируется цилиндром z = 9 – у² и плоскостями у = 0, z = 0 на координатную плоскость 0YZ в область D_yz: {0≤у≤3; 0≤z≤9-у²}. По­дынтегральная функция в выражении (6.2.25) φ(у, z): х- 4 - 4у/3. Тогда

6.2.6. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла

Литература: [3, №№ 3597 - 3608, 3626 - 3642; 5, гл. 2, § 2.11; 6, гл. 1, §1].

Пусть необходимо вычислить часть площади поверхности S, заданной уравнением z =f(х,у)єC'(D) и ограниченной линией Г (рис. 6.2.9), где D -область на координатной плоскости, например 0XY, на которую однозначно проектируется данный участок поверхности.

Разобьем поверхность сетью линий на п малых элементов площади Δσ_i, имеющих проекции ΔS_i на плоскость 0XY. Составим интегральную сумму Δσ_i и перейдём к пределу

.

Из рис. 6.2.9 видно, что при малых величинах Δσ_i участки поверхности близки к плоским. Поэтому ΔS_i = Δσ_icosγ_i, где γ_i - угол между нормалью n_i, к элементу поверхности Δσ_i и осью 0z.

Единичную нормаль к поверхности, а значит, и направляющий косинус cosγ_i найдём с помощью градиента функции, описывающей поверхность S,

.

Откуда

Тогда

(6.2.25)

Если поверхность S однозначно проектируется на плоскость 0XZ (или 0YZ) и уравнения поверхностей заданы в явном виде x = φ(y,z) (или y = ψ(x,z)), то для площади поверхности в этих случаях имеем:

(6.2.26)

Если поверхность неоднозначно проектируется на какую - либо коор­динатную плоскость, то разбиваем ее на однозначно проектирующиеся уча­стки.

Пример 6.2.5. Найти площадь поверхности конуса х² + у² - z² =0, за-ключенной внутри цилиндра х² + у² - 2ах = 0, (z ≥ 0).

Решение. Площадь этой части поверхности проектируется однозначно на координатную плоскость 0XY в круг х² + у² ≤ 2ах. Для рассматриваемой части поверхности конуса

.

Тогда, с учетом площади круга радиуса а, найдём