Методические указания

1. Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть функция f(x) определена на интервале [а,∞) и для любого А>а интегрируема по Риману на сегменте [а,А]. Несобственным интервалом первого рода от функции f(x) по промежутку [а,∞) называется предел . Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично определяются следующие интегралы:

.

Пример 4.3.1.

.

Следовательно, интеграл сходится и равен π/2.

В тех случаях, когда интеграл ∫f(x)dx не выражается в элементарных функциях, воспользоваться определением несобственного интеграла не представляется возможным. Тогда сходимость несобственного интеграла выясняется косвенно при помощи достаточных признаков сходимости.

Заметим, что условие является необходимым, но не достаточным признаком сходимости интеграла . Это означает, что, если сходится, то . Обратное утверждение неверно. Это видно из следующего примера.

Пример 4.3.2.

, следовательно, интеграл расходится, хотя и .

При оценке сходимости несобственного интеграла первого рода ис­пользуют следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,∞) и для любого А>а интегрируемы на сегменте [a,A]. Пусть , тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость .

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,∞) и для любого f(x) А>а интегрируемы на сегменте [а, А]. Если , то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Пример 4.3.3. Исследовать сходимость .

Решение. На интервале [1,∞) .

Поэтому для всех xє[1,∞). Так как , то интеграл сходится, и, следовательно, по первому признаку сравнению сходится интеграл .

Заметим, что в качестве модельного интеграла, с которым производит­ся сравнение, обычно используется интеграл

2. Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть функция f(x) определена на интервале [a,b) и для любого 0<ε<b-а интегрируема на сегменте [а,b-ε] и . Несобственным интегралом второго рода по промежутку [a,b] от неограниченной функции f(x) называется . Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично определяются следующие интегралы:

1. f(x) определена на интервале (a,b], , интегрируема на сегменте [a + ε,b] и . Тогда ;

2. f(x) определена на интервале . интегрируема на и Тогда

.

Пример 4.3.4.

следовательно, интеграл сходится и равен 8/3.

При оценке сходимости несобственных интегралов второго рода ис­пользуют следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,b), для любого 0<ε<b-а интегрируемы на сегменте [а,b-ε] и .

Пусть 0≤f(x)≤g(x), . Тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость .

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [a,b) для любого 0<ε<b-а интегрируемы на сегменте [а,b-ε] и .

Если , то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Пример 4.3.5. Исследовать сходимость .

Решение. Особой точкой функции является точка х = 0. При x→0+0 функция эквивалентна , т. к. . Поэтому исходный интеграл в смысле сходимости ведет себя так же, как интеграл,

,

который сходится. Следовательно, и исходный интеграл сходится.

Заметим, что в качестве модельного интеграла, с которым производиться сравнение заданного интеграла (а-особая точка), обычно используется интеграл . Он сходится при α<1 и расходится при α≥1.