Методические указания

Вычисление определенного интеграла от непрерывных и кусочно-непрерывных функций основано на формуле Ньютона – Лейбница

.

где F(x)-некоторая первообразная для функции f(x) на интервале [a,b]. Эта формула устанавливает связь определенного и неопределенного интегра­лов. Она показывает, что при вычислении определенного интеграла в полной мере используется техника вычисления неопределенного интеграла.

Пример 4.2.1.

.

Приведем формулу замены переменной интегрирования в определен­ном интеграле.

Пусть f(x) непрерывна на [a,b], x = g(t) непрерывно дифференцируе­ма на [α,β] и g(α)=a, g(β) = b. Тогда

.

Подчеркнем, что при замене переменной интегрирования в определен­ном интеграле меняются пределы интегрирования.

Пример 4.2.2.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид

.

Пример 4.2.3.

Остановимся на геометрических приложениях определенного интегра-

1. Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, ограниченной на интервале [a,b] графиками непрерывных функций у = f₁(х) и у = f₂(х) (f₂(x)>f₁(x)), вычисляется по формуле

.

При вычислении площади плоской фигуры важно правильно записать площадь при помощи определенного интеграла. Для этого необходимо нари­совать рисунок к задаче, определить из него уравнения верхней у = f₂(х) и нижней у = f₁(x) границ фигуры. Если какая-либо из границ не задается од­ной функцией, а описывается несколькими разными функциями, нужно раз­бить фигуру вертикальными линиями на части так, чтобы в пределах каждой части верхняя и нижняя границы задавались каждая одной функцией. После этого для каждой части можно использовать формулу площади.

Пример 4.2.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 2x+1, x – y – 1 = 0 (рис.4.2.1)

Из рисунка 4.2.1 видно, что нижняя граница фигуры (линия СВА) задается разными функциями:

и .

Поэтому фигуру СВА необходимо разбить на две СВ₁В и ВВ₁А, площади которых обозначим через S₁ и S₂. Тогда

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически y=y(t), x=x(t) а также прямыми х=а и x=b и осью ОХ, то площадь фигуры вычисляется по формуле

,

где х(α) = а, x(β) = b, у≥0 при хє[a,b].

Пример 4.2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды у = 1- cost, x = t-sint и осью ОХ (рис. 4.2.2).

Одной арке циклоиды соответствует изменение параметра t от 0 до 2π. Следовательно,

Площадь криволинейного сектора, ограниченного линией, уравнение кото­рой задано в полярной системе координат функцией ρ = ρ(φ) и двумя луча­ми φ = α, φ = β, вычисляется по формуле

.

Пример 4.2.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (рис. 4.2.3).

Решение. Так как фигура симметрична относительно начала коорди­нат, то ее площадь можно записать интегралом

.