2. Тригонометрические функции
Интегралы вида
,
где R(u,v) (через и обозначен sinx,
a через v – cosx
) — рациональная функция своих переменных,
интегрируются следующим образом:
1. Если R(u,v) нечетная относительно u, т. е. R(–u,v)= –R(u,v), то замена cosx=t сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.16.
.
2. Если R(u,v) нечетная относительно v, т. е. R(u,–v) = –R(u,v), то замена sinx = t сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.17.
.
3. Если R(u,v) четная относительно u и v, т. е., R–(u,v) = R(u,v), R(u,–v) = R(u,v), то замена tgx = t сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.18.
Заметим, что некоторые интегралы этого типа вычисляются с помощью
, 2 J + cos2x . 2 J-cos2x
формул понижения степени cos х = , sm х = .
Пример 4.1.19.
4. Универсальная замена tg(x/2)=t сводит любой интеграл рассматриваемого класса к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.20.
3. Иррациональные функции
Интегралы вида
,
где R(x,
u1,…,uk)
- рациональная функция своих переменных
заменой
,
m
- наименьшее общее кратное чисел n,…,nk,
сводятся к
интегралам от рациональных функций
относительно t.
Пример 4.1.21.
Следующие интегралы перечисленными заменами сводятся к интегралам от рациональных функций относительно t:
1.
,
где
R(x,u)-рациональная
функция своих аргументов, вычисляется
одной из замен х = asint,
х = acost
или x=atgt.
2
вычисляется
одной из замен
или x
= acht.
3.
вычисляется
одной из замен x
= atgt
или x
= asht.
Пример 4.1.22.
Вопросы для самопроверки
Дайте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.
Дайте определение неопределенного интеграла.
Докажите свойства неопределенного интеграла.
Какой формуле в дифференциальном исчислении соответствует формула замены переменной в неопределенном интеграле?
Выведите формулу интегрирования по частям. В каких случаях используется эта формула?
Перечислите замены, которые используются при вычислении интегралов от тригонометрических и иррациональных функций.
Переведите примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции.
Проведите сравнительный анализ операций дифференцирования и интегрирования функций.
Тема 4.2. Определенный интеграл
Учебники: [7, гл. 9], [9, гл. 10, 11J, [16, гл. 14J, [33, ч. 2,§ § 4.7 - 4.12J.
Аудиторная работа: [3, №№ 2237, 2239, 2241, 2249, 2259, 2267, 2275, 2279, 2281, 2307, 2312, 2455, 2459, 2461, 2465, 2467, 2473, 2491, 2497, 2501, 2505, 2521, 2525, 2534, 2547, 2595], [7, гл. 9, №»№ 31, 35, 37, 39, 43, 47, 49, 51, 57, 63, 65, 67, 69, 71 ,109, 113, 115, 117, 119, 121, 131, 133, 135, 137, 143, 147, 149, 151, 157, 161, 163], [20, ч. 1, №№ 6.339, 6.341, 6.343, 6.345, 6.387, 6.391, 6.401, 6.403, 6.405, 6.453, 6.455, 6.457, 6.459, 6.479, 6.481, 6.483, 6.485, 6.499, 6.503, 6.509, 6.511, 6.521, 6.529, 6.535, 6.541, 6.543J, [33, №№ 53.1, 53.3, 53.5, 53.7, 53.9, 53.11, 54.1, 54.3, 54.5, 54.7, 54.9, 54.11, 55.1, 55.3, 55.5, 55.7, 55.9, 55.11, 56.1, 56.3, 56.5, 56.7, 56.9, 56.11, 57.1, 57.3, 57.5, 57.7, 57.9, 57.11], [38, №№ 6.2.1 - 6.2.16, 7.2.1 - 7.2.12].
Самостоятельная работа: [3, №№ 2234, 2236, 2240, 2242, 2244, 2250, 2256, 2260, 2264, 2268, 2276, 2284, 2286, 2288, 2458, 2460, 2462, 2466, 2474,
2490, 2492, 2494, 2496, 2498, 2500, 2522, 2524, 2534, 2546, 2560, 2562, 2596, 2598, 2602], [7, гл. 9, Ms 32, 34, 36, 40, 44, 48, 50, 52, 54, 64, 66, 72 ,108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 128, 134, 138, 144, 146, 148, 154, 156], [20, №№ 6.338, 6.344, 6.346, 6.348, 6.350, 6.386, 6.388, 6.392, 6.402, 6.406, 6.408, 6.454, 6.456, 6.462, 6.478, 6.480, 6.482, 6.484, 6.490, 6.494, 6.496, 6.502, 6.504, 6.508, 6.512, 6.520, 6.528, 6.530, 6.536], [33, №№ 53.2, 53.4, 53.6, 53.8, 53.10, 53.12, 54.2, 54.4, 54.6, 54.8, 54.10, 54.12, 55.2, 55.4, 55.6, 55.8, 55.10, 55.12, 56.2, 56.4, 56.6, 56.8, 56.10, 56.12, 57.2, 57.4, 57.6, 57.8, 57.10, 57.12], [38, №№ 6.3.1 - 6.3.16, 7.3.1-7.3.12].