1. Метод внесения под знак дифференциала
Пусть в подынтегральное
выражение входит множителем некоторая
функция
,
тогда
и, если оставшийся множитель тоже за-
висит от f(x), то исходный интеграл можно упростить, выполнив замену переменной интегрирования по формуле f(х) = t:
Такое преобразование называется внесением под знак дифференциала. Заметим, что для реализации этого приема необходимо, чтобы один из множителей подынтегральной функции имел табличную первообразную, которая и записывается под знак дифференциала. В то же время оставшаяся функция должна быть сложной функцией от этой первообразной.
Пример 4.1.8.
.
Решение. Так
как
,
то интеграл равен
.
Пример 4.1.9.
.
Решение. Так
как
,
то интеграл можно записать в виде
2. Общий метод замены переменной
В некоторых интегралах подынтегральную функцию удается упростить, если ввести новую переменную интегрирования согласно формуле x = g(t):
Особенностью такого подхода, по сравнению с методом внесения под знак дифференциала, является то, что правильный выбор функции g(t) зависит здесь от искусства вычисляющего, либо предписан теорией.
Пример 4.1.10.
.
Решение. Замена
переменной интегрирования выбирается,
исходя из необходимости избавления от
выражения
.
.
Пример 4.1.11.
.
Решение. От
иррациональности под знаком интеграла
можно избавиться путем замены х = sin
t. Это следует из
основного тригонометрического тождества
.
.
3. Метод интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид
.
Она применяется в следующих случаях:
1. Подынтегральная
функция представляет собой произведение
двух множителей, из которых один имеет
табличную первообразную 
,
а второй упрощается
в результате дифференцирования
.
В частности, этим методом вычисляются
интегралы вида
,
,
,
и т.д.
Пример 4.1.12.
2. Подынтегральная функция упрощается в результате дифференцирования.
Пример 4.1.13.
;
3. При вычислении
интегралов вида
,
и т. д.
Пример 4.1.14.
.
Полученное
равенство можно интерпретировать как
уравнение относительно
.
Решив его, получим
.
Заметим, что в случае, когда после применения формулы интегрирования по частям, интеграл, стоящий справа, имеет более простой вид, чем исходный, но не является табличным. Метод интегрирования по частям можно применять повторно.
Остановимся на методах интегрирования некоторых классов элементарных функций.
1. Дробно-рациональные функции
Интегралы вида
,
где
,
— многочлены степени n
и m, соответственно,
интегрируются в следующем порядке.
Если n
> m, то делением
числителя на знаменатель "уголком"
необходимо выделить целую часть.
Оставшаяся часть будет правильной
дробью. Интеграл от целой части выражается
через табличные интегралы от степенной
функции. Для интегрирования правильной
дроби
необходимо знаменатель разложить на
множители, т. е. представить в виде
,
причем
.
После этого правильную дробь нужно
разложить на сумму простейших дробей:
.
Коэффициенты
определяются после приведения правой
части разложения к общему знаменателю
и приравнивания коэффициентов при
соответствующих степенях у многочлена,
полученного в числителе, и многочлена
Тк(х).
Таким образом, интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.
Пример 4.1.15.
.
Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, т. к. степень числителя равна степени знаменателя. Выделим целую часть неправильной дроби:
Разложим правильную
дробь
на простейшие
.
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях у многочленов в числителях дробей слева и справа, получаем систему для определения неизвестных постоянных:
Таким образом, получено разложение
Теперь интеграл представляется в виде суммы интегралов
.