Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Тема 2.1. Введение в анализ

Учебники: [16, гл. 1, §§ 1, 3,4], [4, гл. 1, 2, 3], [17, гл. 1, 2].

Аудиторная работа: [20, гл. 1, § 1 -4, М« 1.20, 1.24, 1.36, 1.39, 1.186, 1.192, 1.203, 1.233, 1.241, 1.289, 1.299, 1.307, 1.324, 1.352], [15, гл. 5, §§ 2 - 8, №№ 673 (3), 682 (2), 700 (2), 703, 736, 739, 742, 750, 752, 756, 760, 767, 774, 784, 812 (2), 825 (1), 838, 842], [33, №№ 1.2, 1.5, 2.8, 2.11, 3.2, 3.11, 4.2, 4.3, 4.8, 5.4, 6.4, 7.5, 8.5, 9.5, 9.8, 10.8, 11.4, 11.6].

Самостоятельная работа: [20, гл. 1, §§ 1 - 4, №№ 1.19 - 1.27,1.28 - 1.42, 1.134 - 1.153, 1.182 - 1.190, 1.231 - 1.240, 1.272, 1.283, 1.288 - 1.312, 1.320 -1.332, 1.349 - 1.356, 1.365 - 1.370, 1.387 - 1.394], [15, гл. 5, §§ 1 - 8, №№ 673, 676 - 686, 734 - 800, 812, 825, 836 - 846], [33, №№ 1.1 - 11.13].

Указания

Перед тем как приступить к изучению этого раздела, студент должен вспомнить разделы элементарной математики, связанные с понятиями действительного числа, переменной величины и функции.

В качестве литературы могут быть использованы учебники для общеобразовательной школы.

Студент должен уметь:

а) выполнять действия над числами;

б) производить тождественные преобразования многочленов и дробей, выражений со степенными, показательными, логарифмическими и тригонометрическими функциями;

в) строить графики линейной, квадратичной, простейших дробнолинейных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций;

г) решать уравнения и неравенства первой и второй степени, системылинейных уравнений, простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В математическом анализе важную роль играет понятие абсолютной величины (модуля) числа , если и , если .

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 2.1.1. Найти область изменения х, если .

Решение.

, если .

Следовательно, -1 < х < 5,т. е. х меняется в интервале (-1,5).

Пример 2.1.2. Построить график функции .

Решение. Так как , если , то если

Строим график.

у = (–2) = 3

у(1) = 0, у(2) = 1, у(2) = –1

Множество — одно из наиважнейших понятий математики, которое вводится аксиоматически. Описательное пояснение: совокупность некоторых объектов, называемых элементами множества. Множества могут состоять из произвольных элементов, но каждое конкретное множество есть объединение (совокупность) элементов, имеющих общий для всех определенный признак (свойство). Например, множество целых чисел состоит из всех возможных целых чисел (быть целым числом - свойство для всех элементов множества).

Запись означает, что объект a есть элемент множества А (принадлежит А), в противном случае пишут: . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Запись (А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае множество А есть подмножеством множества В.

Множества А и В называют равными (А = В), если и .

Существуют два основных способа задания множеств:

1. Множество А определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a₁,a₂,…,a_n, т. е. записывается в виде ;

2. Множество А определяется как совокупность элементов из некоторого основного множества Т, которое обладает общим свойством а. В этом

случае используется обозначение , где запись означает, что элемент х обладает свойством .

Пример 2.1.3. Описать перечислением элементов множество

.

Решение. А есть множество всех целых корней уравнения , следовательно, А = {-1,1,2}.

Объединением множеств А и В называется множество

Пересечением множеств А и В называется множество

Разностью множеств А и В называется множество

Понятие функции. Пусть D — произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число у, то говорят, что на множестве D определена числовая функция у = f(х). Множество D называется областью определения, а множество — множеством значений числовой функции.

Наиболее распространенным является аналитический способ задания функции. Кроме него существуют еще табличный и графический.

Элементарные функции и их графики. Следующие функции называются основными элементарными:

1. Степенная функция: ;

2. Показательная функция: ;

3. Логарифмическая функция: ;

4. Тригонометрические функции:

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;

5. Обратные тригонометрические функции:

у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg x.

Элементарной называется функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.

Графиком функции у = f(x) называется множество

,

где R² — множество всех точек плоскости.

Понятие последовательности. Последовательностью действительных чисел называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел у = f(n). Число f(n) называется n–м членом последовательности и обозначается символом x_n.

Пример 2.1.4. Написать первые пять членов последовательности

.

Решение.

; ; ; ; .

Предел последовательности. Число а называется пределом последовательности , т. е. , если для любого существует номер такой, что при выполняется неравенство . При этом сама последовательность называется сходящейся, например, . Чтобы это доказать, достаточно указать способ построения для любого числа . Зададим и составим неравенство , которое эквивалентно неравенству . Если в качестве взять целую часть , то для всех будет выполняться требуемое неравенство.

Вычисление пределов обычно проводится с использованием свойств сходящихся последовательностей.

Пример 2.1.5.

.

Решение.

.

Бесконечно малые величины. Переменная величина называется бесконечно малой величиной, если она в процессе своего изменения становится и остается по абсолютной величине меньше сколь угодно малого наперед заданного положительного числа. Примером может быть любая последовательность, сходящаяся к нулю.

Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой величиной.

Предел переменной величины. Переменная величина х в некотором процессе стремится к конечному пределу а, если х в этом процессе безгранично приближается к , т. е. (х – а) есть величина бесконечно малая.

Для вычисления пределов важными являются их свойства.

Предел функции. Число А называется пределом функции f(x) в точке а и записывается , если для любого существует число такое, что из условия следует неравенство .

В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:

, где е = 2.71828... - основание натуральных логарифмов.

Непрерывность функции. Функция у = f(x) непрерывна в точке х₀, если выполнены следующие условия:

а) функция определена в точке х₀ (существует f(x₀));

б) существует ;

в) .

Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то х₀ называют точкой разрыва.

Пример 2.1.6. не определена при х = 0, но  — это точка устранимого разрыва.

Пример 2.1.7. — точка разрыва первого рода.

Пример 2.1.8. — точка разрыва второго рода.

Для непрерывной функции знак функции и знак предела можно менять местами: .

Это свойство позволяет очень просто находить пределы непрерывных (в частности, элементарных) функций: отыскание предела функции сводится к вычислению значения функции в предельной точке.