Вопросы для самопроверки

1. Изобразите схематично основные поверхности второго порядка.

2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собою:

а) плоскость;

б) пустое множество?

Привести примеры.

3. Назовите типы и выпишите канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.

4. Докажите, что всякое уравнение F(x,y,z) = 0, где F – однородный многочлен второй степени, определяет конус с вершиной в начале координат.

После изучения тем 1.1 - 1.6 раздела 1 студенту необходимо выполнить контрольную работу № 1.

Дополнение 1.1. Образец выполнения и оформления контрольной работы № 1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры"

Задача № 1. Вычислить:

а) ;

б) угол между векторами и , если , , .

Решение. а) Согласно определению модуля

;

б) угол между векторами и вычисляется по формулам

; ; .

Вычислим отдельно числитель и знаменатель:

;

(см. п. а);

.

Таким образом, ; .

Задача № 2. Заданы координаты четырех вершин пирамиды ABCD: А(–2,0,0), B(l,l,–l), С(–1,3,0), D(–1,0,2).

Вычислить ; ; площадь ; объем пирамиды; длину высоты DH пирамиды, проведенной к плоскости грани ABC. Записать уравнения: прямой АВ; плоскости ABC; высоты пирамиды DH; медианы AM треугольника ABC, высоты АК треугольника ABC, биссектрисы AL треугольника ABC.

Решение.

1. Вектор имеет координаты: . Поэтому его длина равна  (ед.)

2. Угол между векторами и определяется по формуле (1.2.3). Вычислим длину вектора :

(ед.).

.

Скалярное произведение вычислялось по формуле (1.2:5):

.

3. Площадь треугольника ABC вычислена в примере 1.2.9.

4. Объем пирамиды ABCD вычислен в примере 1.2.10.

5. Длина высоты DH пирамиды, проведенной из вершины D к грани ABC, также вычислена в примере 1.2.10.

6. Уравнение прямой АВ будем искать в виде (1.3.8), т. к. заданы две точки этой прямой А и В.

.

Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и В, получим

.

7. Уравнение плоскости ABC можно записать в виде (1.3.4), т. к. заданы координаты трех точек А, В, С

;

.

Уравнение плоскости ABC:3x – y – 8z + 6 = 0.

8. Уравнение высоты пирамиды DH ищем в виде (1.3.6)

.

Координаты точки D известны, а направляющий вектор прямой коллинеарен вектору нормали к плоскости ABC. Вектор нормали к плоскости ABC имеет координаты (см. п. 7 данной задачи). Поэтому уравнение прямой DH имеет вид

.

9. Уравнение медианы AM ищем в виде (1.3.8):

Точка М — середина отрезка ВС и имеет координаты:

; ;

Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид

.

10. Уравнение высоты АК ищем в виде (1.3.6):

.

Направляющий вектор прямой вектор перпендикулярен вектору — нормали к плоскости ABC и вектору (рис. Д.1.1). Поэтому вектор а может быть вычислен по формуле (1.2.10)

Уравнение высоты АК имеет вид .

Рис. Д. 1.1

11. Точка L -точка пересечения биссектрисы AL со стороной ВС – делит отрезок ВС на части, длины которых пропорциональны длинам прилежащих сторон, т. е.

; ; .

Таким образом, и .

По формулам деления отрезка в данном отношении находим координаты точки L:

;

;

.

Уравнение биссектрисы AL ищем в виде (1.3.8)

.

Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и L, получим

.

Задача № 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-1,2) и прямую L: (рис. Д. 1.2).

Уравнение искомой плоскости ищем в виде (1.3.1):

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0,

где (x₀, y₀, z₀) — координаты точки M₀(1, -4, 1), расположенной на прямой L и принадлежащей плоскости Р.

Вектор нормали к плоскости Р определим из условия

,

где ,

.

Рис. Д. 1.2

Таким образом, и уравнение плоскости имеет вид

7(x – l) – 2(y + 4) – 8(z – l) = 0,

7x – 2y – 8z – 7 = 0.

Задача № 4. Найти расстояние между прямыми

и .

Прямая L₁ проходит через точку M₁(2, –2, l) и имеет направляющий вектор . Уравнение прямой L₂ запишем в виде выражения (1.3.8),

предварительно определив какие-либо две точки, например: К₁(1,-6,0) и К₂(1,0,9), тогда

или .

Направляющий вектор прямой L₂ . Прямые L₁ и L₂ не параллельны, т. к. , . Проверим, пересекаются ли прямые L₁ и L₂, использовав условие (1.3.18)

.

Смешанное произведение векторов отлично от нуля, поэтому прямые L₁ и L₂ не пересекаются, а являются скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми находим по формуле (1.3.20), предварительно вычислив по формулам (1.2.10) и (1.2.6):

;

.

Таким образом,

.

Задача № 5. Вычислить значение многочлена f(А) от матрицы А, если

, .

.

Задача № 6. Матричным методом решить систему линейных алгебраических уравнений

Решение системы находим по формуле (1.1.8): X = А^–1 В, где , , а обратная матрица вычисляется по фор-

;

.

Таким образом, x₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3.

Задача № 7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 3х² + 4ху – 4х – 8у = 0.

Определить тип кривой.

Решение задачи приведено в примерах 1.4.1 и 1.6.1. Метод решения студент выбирает сам.