
- •Раздел 2
- •(70 Часов)
- •Математический анализ (274 часа) 1. Введение в анализ (20 часов)
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (30 часов)
- •3. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков (26 часов)
- •4. Элементы высшей алгебры (8 часов)
- •5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (20 часов)
- •6. Интегральное исчисление функций одной переменной (40 часов)
- •7. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (44 часа)
- •8. Криволинейные интегралы (6 часов)
- •9. Кратные интегралы (38 часов)
- •10. Ряды. Преобразование Фурье (42 часа)
- •Раздел 1. Матрицы и определители. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.2. Векторная алгебра
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.3. Прямая и плоскость
- •Различные виды уравнения плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Задачи, относящиеся к плоскостям
- •Задачи, относящиеся к прямым в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Прямая линия на плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка. (тема выносится на самостоятельное изучение)
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора)
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.6. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений линии и поверхности второго порядка
- •Уравнения центральных поверхностей второго порядка
- •Уравнения нецентральных поверхностей второго порядка
- •Уравнение плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Дополнение 1.1. Образец выполнения и оформления контрольной работы № 1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры"
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Тема 2.1. Введение в анализ
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2.2. Производная и дифференциалы
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2.3. Приложения производной
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2.4. Комплексные числа
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Дополнение 2.1. Образец выполнения и оформления контрольной работы № 2 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
- •Раздел 3; Функции нескольких переменных Тема 3.1. Частные производные
- •Тема 3.2. Экстремум функции
- •Тема 3.3. Геометрические приложения функций нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки
- •Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной Тема 4.1. Неопределенный интеграл
- •Методические указания
- •1. Метод внесения под знак дифференциала
- •2. Общий метод замены переменной
- •3. Метод интегрирования по частям
- •1. Дробно-рациональные функции
- •2. Тригонометрические функции
- •3. Иррациональные функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 4.2. Определенный интеграл
- •Методические указания
- •1. Площадь плоской фигуры
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Площадь поверхности вращения
- •4. Объем тела вращения
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 4.3. Несобственные интегралы
- •Методические указания
- •1. Несобственные интегралы первого рода
- •2. Несобственные интегралы второго рода
- •Вопросы для самопроверки
- •Раздел 5. Дифференциальные уравнения
- •Тема 5.1. Уравнения первого порядка
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 5.2. Уравнения высших порядков
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 5.3. Системы дифференциальных уравнений
- •Указания
- •Вопросы для самопроверки
- •Раздел 6. Кратные интегралы. Элементы теории векторного поля
- •Тема 6.1. Некоторые вспомогательные определения
- •Тема 6.2. Двойной интеграл
- •6.2.1. Определение двойного интеграла, его геометрический и физический смысл
- •6.2.2. Свойства двойного интеграла
- •6.2.3. Вычисление двойного интеграла. Изменение порядка интегрирования
- •Замена переменных в двойных интегралах.
- •Двойные интегралы в полярных координатах
- •6.2.5. Вычисление объёмов тел с помощью двойного интеграла
- •6.2.6. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла
- •Тема 6.3. Тройной интеграл
- •6.3.1. Определение тройного интеграла
- •6.3.2. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат
- •6.3.3. Замена переменных в тройных интегралах
- •Тема 6.4. Криволинейные интегралы
- •6.4.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •Свойства криволинейного интеграла первого рода
- •6.4.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •Свойства криволинейных интегралов второго рода
- •6.4.3. Формула Грина
- •6.4.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •Тема 6.5. Элементы векторного анализа
- •6.5.1. Скалярные и векторные поля
- •6.5.2. Дифференциальные операции над векторными полями. Оператор
- •6.5.3. Циркуляция и поток векторного поля
- •6.5.4. Интегральные теоремы
- •6.5.5. Потенциальные и соленоидальные поля
- •Раздел 7. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
- •Тема 7.1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами. Ряды с членами любого знака. Знакочередующиеся ряды
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7.2. Функциональные ряды. Приложения рядов к приближенным вычислениям. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7.3. Ряды Фурье
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
- •Список использованной и рекомендуемой литературы
- •Учебно - методические пособия кафедры высшей математики
- •I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
- •П. Математический анализ
- •61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
Уравнения центральных поверхностей второго порядка
1.
,
(1.6.6)
если
– точка;
– эллипс;
– мнимый эллипс.
2.
,
(1.6.7)
если – однополостной гиперболоид; – двуполостной гиперболоид; – эллиптический конус.
Уравнения нецентральных поверхностей второго порядка
1.
, (1.6.8)
если – эллиптический параболоид; – гиперболический параболоид.
2. Цилиндрические поверхности:
а)
, (1.6.9)
если – эллиптический цилиндр; – гиперболический цилиндр.
б)
, (1.6.10)
– мнимый эллиптический цилиндр (уравнению не удовлетворяет ни одна точка);
в)
, (1.6.11)
– пара плоскостей;
г)
,
,
(1.6.12)
и т. д. - параболические цилиндры.
Уравнение плоскостей
,
,
если
– пара параллельных плоскостей;
‑ мнимые
плоскости (уравнению не удовлетворяет
ни одна точка пространства);
– пара совпадающих плоскостей.
Пример 1.6.1. Записать каноническое уравнение кривой второго порядка 3х2+4ху–4х–8у=0 (сравните с решением примера 1.4.1 темы 1.4).
Квадратичная
форма, содержащаяся среди слагаемых
левой части уравнения, имеет вид
,
а ее матрица —
,
а11=3, а22=0,
а12=а21=2.
Вычислим собственные числа и собственные векторы матрицы A (см. тему 1.5).
Пусть собственные
векторы
,
где
— координаты. Система (1.5.5) для
нахождения собственных векторов имеет
вид
(1.6.14)
Найдем собственные числа Л, решив характеристическое уравнение (1.5.6).
;
.
Подставим первое собственное число
в систему (1.6.14):
,
,
,
.
Откуда
и соответствующий единичный вектор
имеет вид
Подставим второе
собственное число
в систему (1.6.14):
,
,
,
,
,
.
Перейдем в двумерное
пространство R2 к новому
базису, составленному из собственных
векторов матрицы A
и
.
При этом матрица квадратичной формы В
в новом базисе будет иметь вид (см.
формулу 1.5.3)
где матрица Т
составлена из координат собственных
векторов, записанных в столбцы. Связь
между старыми координатами х,у (в
базисе
)
и новыми координатами x1,y1
(в новом базисе) реализуется по формуле
, или
,
,
а квадратичная форма в новом базисе
имеет вид (аналогично формуле (1.6.3))
(случай двух переменных)
.
Запишем уравнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные:
,
.
Уравнение совпало с уравнением, полученным в примере 1.4.1 темы 1.4, и поэтому дальнейшие преобразования идентичны.
Ответ:
– сопряженная гипербола с полуосями
а=1, b=2.
Пример 1.6.2. Записать каноническое уравнение поверхности второго порядка 11х2 + 4ху + 2у2 – 16xz + 20yz + 5z2 + 6x + 12y – 6 = 0.
Решение. Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения F(x,y,z) = 11х2 + 4ху + 2у2 – 16xz + 20yz + 5z2.
Матрица этой квадратичной формы .
Собственные числа
этой матрицы
,
,
,
и единичные собственные векторы
,
,
,
найдены в примере 1.5.4 (см. тему 1.5). Связь
между координатами x, y, z в старом
базисе
и координатами x1, y1,
z1 в новом базисе
имеет вид
,
или
,
Вышезаписанная
матрица, как в примере 1.6.1, образована
из координат собственных векторов,
записанных в столбцы. Матрица квадратичной
формы В в новом базисе — диагональная
,
а сама квадратичная форма имеет вид
.
Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых координатах, приведем подобные члены и выделим полные квадраты:
;
;
;
;
Перейдем к новым
координатам (параллельный перенос):
;
;
;
или
.
Полученное
уравнение является каноническим
уравнением однополостного гиперболоида
(1.6.7) с параметрами
.
После изучения материала, содержащегося в разделе 1, студент должен выполнить контрольную работу № 1.