Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы.

2. Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго по рядка.

3. Какие линии определяют уравнения ? Вычислите параметры кривых.

4. Получите уравнения асимптот гиперболы.

5. Чему равен эксцентриситет для окружности?

6. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная.

Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы

Учебники: [16, гл. 16, § 1.2].

Аудиторная работа: [7, гл. 2, § 4, №№ 34 (1.2), 37 (2), 39 (1), 40 (1, 2), 41 (1, 2) ], [20, ч. 1, гл. 4, №№ 4.83, 4.86, 4.90, 4.106 (а), 4.183], [28, занятия 14 (14.2.1, 14.2.4), 15 (15.2.1, 15.2.4, 15.2.7)].

Самостоятельная работа: [7, гл. 2, § 4, №№ 35, 37 (1, 3, 4), 39 (2), 40 (3), 41 (3, 4)], [20, ч. 1, гл. 4, №№ 4.84, 4.87, 4.91, 4.92, 4.106 (б), 4.184], [28, занятия 14(14.3.3), 15(15.3.1, 15.3.5, 15.3.8, 15.3.9)].

В теории линейных векторных пространств обобщается понятие вектора, введенного в курсе векторной алгебры.

Упорядоченная совокупность n чисел называется n‑мерным вектором, а числа , составляющие эту совокупность, называются координатами вектора х; n–мерный вектор можно рассматривать как матрицу-строку или матрицу-столбец, состоящую из n элементов.

Линейным векторным пространством называется множество векторов (любой природы), для которых определено два действия ‑ сложение и умножение на произвольное число. Линейные n–мерные векторные пространства будем обозначать L_n.

Если и , то:

1. x=y, если ;

2. ;

3. .

Приведенные определения позволяют рассматривать векторы общего вида не обязательно геометрической природы. Примеры линейных пространств:

а) множество геометрических векторов R₃;

б) множество всех многочленов Рn{х}, степени, не превосходящей n;

в) множество матриц A_mn размерности mn;

г) пусть ‑ количество i–го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы вида могут задавать

суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящегося на складе, и т. д.

Любая совокупность п линейно независимых векторов в и-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линейной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2).

Пример 1.5.1. Показать, что система векторов

, , ,

образует базис в пространстве квадратных матриц Представить матрицу А₂₂ в виде линейной комбинации векторов .

Решение. Составим линейную комбинацию , и приравняем ее, к нулю:

.

Отсюда .

Мы получили, что линейная комбинация векторов St, i = 1,4 равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Согласно определению (см. тему 1.2) векторы линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных векторов.

Разложение матрицы А₂₂ по базису имеет вид

.

Линейное пространство называется евклидовым, если в нем каждой паре векторов х, у сопоставлено число, которое называется скалярным произведением этих векторов, обозначается (х, у) и удовлетворяет аксиомам:

1. (х, у)= (y, x);

2. (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+ (x₂,y);

3. 

4. (х, у)>0, если и (x,x)=0, если ч=0.

Число называется нормой вектора в евклидовом пространстве. Неравенство называется неравенством Коши‑Буняков-ского.

Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. (х,у)=0.

Линейные преобразования. Если указано правило f, по которому каждому вектору x линейного пространства L_n ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор).

Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства и любого выполняются условия

; . (1.5.1)

Если линейное пространство L – n–мерное пространство, а f–линейное преобразование (оператор), осуществляющее отображение у=f(х), , то можно построить матрицу этого преобразования

(1-5.2)

такую, что у = Ах, или .

Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка.

Пример 1.5.2. Показать, что преобразование , где  ‑ постоянный вектор, , есть линейное в линейном пространстве L₃ и построить его матрицу А.

Решение. Чтобы доказать линейность преобразования , достаточно проверить свойства (1.5.1).

Пусть , тогда

,

,

т. е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование линейно.

Построим матрицу преобразования

,

откуда , .

Предположим, что в линейном пространстве L_n заданы базисы и , а также матрица А линейного преобразования f в базисе . Тогда матрица линейного преобразования в базисе будет иметь вид

, (1.5.3)

где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 1.5.3. В базисе преобразование f имеет матрицу . Найти матрицу преобразования f в базисе , .

Решение. Матрица (координаты векторов и записываются в столбцы, соответственно, в первый и второй (см. формулу 1.1.6)).

По формуле (1.5.3) находим

.