Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка. (тема выносится на самостоятельное изучение)

Учебники: [1, гл. 2, § 4, гл. 3, §§ 1 - 3], [10, гл. 6, §§ 1 - 5], [16, гл. 2, § 3, п. 10-13].

Самостоятельная работа: [2, №№ 7.25, 7.38, 7.54, 8.1 (1, 3, 6), 9.1 (1, 2), 9.3 (1, 4), 9.4 (1 - 3) J, [7, гл. 3, №№ 49, 50, 51, 54, 62 (1, 2), 63 (1, 2) ], [20, ч. 1, гл. 2, № 2. 247, 2.249 (1, 2), 2.256 (а), 2.257, 2.258, 2.267, 2.269 (а), 2.278, 2.279, 2.286, 2.288 (в), 4. 226, 4. 227 (в двух последних заданиях преобразование координат проводить по формулам 1.4.1 - 1.4.3) ], [28, занятие 16 (16.2.6 -16.2.7)].

Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть преобразование поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в различных системах координат.

Рис. 1.4.1 Рис. 1.4.2

Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая OXY и новая O₁X₁Y₁ (рис. 1.4.1). Начало новой системы координат находится в точке O₁(a,b).

Старые координаты х, у точки М через новые координаты x₁, y₁ выражаются формулами

х=х₁+а, у=у₁+b, (1.4.1)

откуда

x₁=x-a, y₁=y-b. (1.4.2)

Поворот координатных осей. Новая система координат OX₁Y₁ получена поворотом старой на угол вокруг точки 0 (рис. 1.4.2). Старые координаты (х,у) точки М через новые координаты (x₁,y₁) выражаются формулами

.

. (1.4.3)

В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота осей координат, связь между старыми и новыми координатами имеет вид

(1.4.4)

Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка

(1.4.5)

приводить к простейшему (каноническому) уравнению путем преобразования системы координат (параллельный перенос, поворот). В новой системе координат уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следующих канонических уравнений:

‑ эллипс; ‑ гипербола;

‑ точка; ‑ сопряженная гипербола; (1,4,6)

‑ мнимый эллипс; , ‑ параболы;

‑ пара прямых; ‑ мнимая пара прямых.

Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей координат на угол преобразуется в уравнение

(1.4.7)

Формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол определяется по формуле

, (1.4.8)

причем

; ; . (1.4.9)

Уравнение (1.4.7) приводится к каноническим уравнениям (1.4.6) выделением полных квадратов и применением формул параллельного переноса (1.4.1).

Пример 1.4.1. Кривая второго порядка задана уравнением . Записать каноническое уравнение этой линии.

Решение. В данном случае а₁₁=3, 2а₁₂=4, а₂₂=0. По формуле (1.4.8) находим . Следовательно, либо

. Откуда либо . В дальнейшем считаем, что . Тогда и , . По формулам (1.4.9) вычисляем

,

Замечание. Если предположить, что , то , , и по формулам (1-4.9) имеем: , , .

Вычисленные значения sin а и cos а подставляем в формулы (1.4.3):

,

.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

.

В последнем уравнении выделим полные квадраты

,

,

; .

Используя формулы (1.4.1), положим

, .

В новых координатах последнее уравнение имеет вид

, или .

Это уравнение определяет сопряженную гиперболу (действительная

Рис. 1.4.3

ось OY с полуосями а=1, b=2.

Построим гиперболу в новой системе координат O₁X₂Y₂. Вначале вычислим старые координаты точки О₁, в которой находится центр гиперболы. Для этой точки х₂=0, у₂=0. По формулам (1.4.1) находим , . С помощью формул (1.4.3) вычисляем , . Таким образом, точка О₁, имеет координаты О₁(2,–2). Через точку О₁ проводим ось ОХ₂, для которой , и ось OY₂ перпендикулярно оси ОХ₂. Строим гиперболу в системе координат O₁X₂Y₂ (рис. 1.4.3).