МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Н.Е.ЖУКОВСКОГО

ХАРЬКОВСКИЙ

АВИАЦИОННЫЙ

ИНСТИТУТ

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

_{ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА}

У ЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Х арьков "ХАИ" 2001

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Национальный аэрокосмический университет

им. Н. Е. Жуковского

"Харьковский авиационный институт"

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Учебное пособие для студентов факультета заочного обучения

Х арьков "ХАИ" 2001

УДК 517

Высшая математика. Методика решения задач /И.В.Брысина, А.В.Головченко, Г.И. Кошевой, П.Т. Кощавец, Ю.А. Крашаница, А.Г. Николаев, B.C. Процен-ко, В.А. Рвачев, Е.П. Томилова, Е.Г. Ушакова, В.В. Хоменко. - Учеб. посо­бие. - Харьков: Нац. аэрокосмический ун-т "Харьк. авиац. ин-т", 2001. -187 с.

Дан необходимый минимум сведений для освоения курса высшей ма­тематики. Представлена программа курса, кратко изложена теоретическая часть каждого изучаемого раздела и приведены примеры, указаны рекомен­дуемые к решению задачи, а также рассмотрены варианты контрольных ра­бот.

Для студентов факультета заочного обучения.

Ил. 42. Библиогр.: 40 назв.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. А. В. Макаричев, канд. физ.-мат. наук, доц. В. А. Афанасьев

Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского "Харьковский авиационный институт", 2001 г.

Оглавление

Раздел 1

Тема 1.1

Тема 1.2 Тема 1.3 Тема 1.4

Тема 1.5 Тема 1.6 Дополнение 1.1

Раздел 2

Тема 2.1 Тема 2.2 Тема 2.3 Тема 2.4 Дополнение 2.1

Раздел 3 Тема 3.1 Тема 3.2 Тема 3.3

Введение 5

Программа курса по высшей математике 6

Матрицы и определители. Векторная алгебра. Ана­литическая геометрия. Элементы линейной алгебры

12

Матрицы и определители. Системы линейных алгебраи­ ческих уравнений (СЛАУ) 12

Векторная алгебра 25

Прямая и плоскость 34

Преобразование координат на плоскости. Элементарная

теория линий второго порядка 43

Некоторые сведения о линейных векторных пространст­ вах. Собственные числа и собственные векторы 47

Квадратичные формы. Приведение к каноническому ви­ ду уравнений линии и поверхности второго порядка ..53 Образец выполнения и оформления контрольной работы № 1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры" 58

Дифференциальное исчисление функции одной пе­ ременной 65

Введение в анализ 65

Производная и дифференциалы 70

Приложения производной 73

Комплексные числа 78

Образец выполнения и оформления контрольной работы № 2 "Дифференциальное исчисление функции одной пе­ ременной" 80

Функции нескольких переменных 84

Частные производные 84

Экстремум функции 86

Геометрические приложения функций нескольких пере­ менных 89

Раздел 4 Тема 4.1

Интегральное исчисление функций одной перемен­ ной 91

Неопределенный интеграл 91

Тема 4.2 Определенный интеграл 101

Тема 4.3 Несобственный интеграл 109

Раздел 5 Дифференциальные уравнения 114

Тема 5.1 Уравнения первого порядка 114

Тема 5.2 Уравнения высших порядков 115

Тема 5.3 Системы дифференциальных уравнений 117

Дополнение 5.1 Образец выполнения и оформления контрольной работы

№ 3 "Функции нескольких переменных. Интегрирование функций одной переменной. Обыкновенные дифферен­ циальные уравнения" 119

Раздел 6 Кратные интегралы. Элементы теории векторного

поля 125

Тема 6.1 Некоторые вспомогательные определения 125

Тема 6.2 Двойной интеграл 125

Тема 6.3 Тройной интеграл 141

Тема 6.4 Криволинейные интегралы 147

Тема 6.5 Элементы векторного анализа 152

Раздел 7 Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.

Интеграл Фурье 159

Тема 7.1 Числовые ряды. Ряды с положительными членами. Ряды

с членами любого знака. Знакочередующиеся ряды ..159

Тема 7.2 Функциональные ряды. Приложения рядов к прибли­ женным вычислениям. Приближенное решение диффе­ ренциальных уравнений 162

Тема 7.3 Ряды Фурье 167

Тема 7.4 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 170

Дополнение 7.1 Образец выполнения и оформления контрольной работы

№ 4 "Кратные интегралы. Ряды Фурье" 174

Список использованной и рекомендуемой литературы 185

ВВЕДЕНИЕ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная систематическая работа над учебным материалом. Организуемые для студентов лекции, практические занятия и консультации призваны помочь им в самостоятельной работе. Количество часов, отведенных на аудиторную работу, составляет 25 процентов от общего числа часов, необходимых для изучения курса.

Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера. Преподавание математики имеет целью выработки у студентов умения проводить анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач.

В настоящем пособии приведена программа курса по высшей математике с указанием количества часов, отводимых на изучение темы, указано, в какой последовательности надо изучать рекомендуемую литературу, какие задачи необходимо решить. Каждый раздел содержит ссылку на литературу, позволяющую изучить основной теоретический материал, вопросы для самопроверки, номера задач, которые рекомендуются к решению, краткие методические указания. После изучения темы необходимо выполнить контрольную работу. Приведены образцы оформления и выполнения контрольных заданий.

В пособии используется тройная нумерация формул, примеров и рисунков. Первая цифра указывает номер раздела, вторая - номер темы, третья - порядковый номер объекта, на который производится ссылка.

Для изучения курса высшей математики студенту рекомендуется следующая литература, применительно к которой и составлено настоящее пособие.

ПРОГРАММА КУРСА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ