Свойства:

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] 

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b)найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0

#11 Точки разрыва и их классификация

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

Устранимый разрыв - если предел в этой точке существует, но в т. х=а, f(x) или не определено, или частное значение f(a) не равно предельному значению.

Разрыв первого рода - т. а,..., если значение f(x) имеет конечный, но не равный друг-другу левые и правые предельные значения.

Разрыв второго рода - если один из односторонних пределов не сущ. или уходит на бесконечность

#12 Производная числа (x₀) наз-ся число f’(x₀)=lim(x0)(f(x₀+x)-f(x₀))/ x

{Предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, бла бла бла}

Геометрический смысл: производная в точке равняется tg угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Механический смысл: Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀. Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

#13 Связь непрер-ности и дифференцируемости

Т-ма. Для того, чтобы ф-ия y=f(x) была непрерывна в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки бесконечно малому приращению аргумента x0 соотв. бесконечно малое приращение y

Док-во: 1) f(x) в окр. a.; xa; f(x) f(a), но x=a+x, следовательно f=f(a+x)-f(a), сделовательно f0

2)если x0, то f0, следовательно lim(xа)(f(а+x)=f(а), следовательно f(x) непрерывна в т. x=a

Опред. y=f(x) явл. дифференц., если в т-ке x0 ее приращение можно представить в виде y=A*x+o(x)*x, где A=const, lim(x0)(o(x))=0;

Т-ма. Чтобы ф-ия была дифференц., необходимо, чтобы она имела в данной точке конечную производную

Док-во.1)Если y=f(x)-диффер,y/x =A +o(x),

Перейдем к пределу, y'= lim(x0)( y/x)=A

2) Пусть существует конечная производная, тогда существует конечный предел lim(x0)( y/x)=y', получаем o(x)=y' - y/x.

Т-ма (дифференцируемость и непрерывность). Если  функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Док-во: Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде,y/x =A +o(x), из которого следует, что предел lim(x0)( y)=0, , что означает непрерывность функции в данной точке.