Условия однозначности процессов теплообмена, закон Ньютона - Рихмана

Для каждого конкретного случая к дифференциальному уравнению теплопроводности добавляют математические условия или ряд дополнительных уравнений, называемых условиями однозначности.Условия однозначности включают в себя геометрические, физические, временные и граничные условия.

Геометрические условия характеризуют геометрические и линейные размеры тела, участвующего в процессе теплообмена.

Физические условия характеризуют физические свойства тела, среды или задается закон внутреннего тепловыделения.

Временные или начальные условия характеризуют особенности проте­кания процесса во времени или распределение температуры внутри тела в начальный момент времени

Граничные условия характеризуют процессы теплообмена между по­верхностью тела и окружающей средой.

Граничные условия задаются несколькими возможными случаями:

I рода - задается распределение температуры на поверхности тела: Тп =f (x, y, z, т)

II рода - задается распределение теплового потока на поверхности те­ла: qH = f (x, y, z, т).

III рода - задаются температура окружающей среды Тс и закон тепло­обмена между средой и поверхностью тела, чаще всего используется закон теплообмена Ньютона:

Q = а(Тп — Тс) или —X(dJ/dn) = а(Тп — Тс).

IV рода (условия сопряжения) - характеризуют процессы теплопро­водности между соприкасающимися поверхностями различных тел, когда температура в точке сопряжения тел одинакова, но тепловые потоки раз­ные.

Закон Ньютона – Рихмана

Плотность теплового потока (выражается вВт/м²) на границе тел пропорциональна их разности температур (так называемый температурный напор):

где — плотность теплового потока при перепаде температур на 1K, измеряется вВт/(м²·К)

Закон Ньютона служит одним из видов граничных условий, которые ставятся в задачах теплопроводности.

Дифференциальные уравнения теплопроводности в твердом теле

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для изотропного твердого тела в декартовой системе координат (установлен Ж.Б. Фурье в 1822 г.) имеет вид:

Если температурное поле стационарное – имеем дифференциальное уравнение Пуассона:

При отсутствии внутренних источников теплоты, когда тепловыделение W равно нулю, имеем дифференциальное уравнение Лапласа:

Дифференциальные уравнения Фурье, Пуассона и Лапласа могут быть двумерными, когда температура зависит от двух любых координат, и одномерными, когда температура зависит только от одной координаты пространства.

Теплопроводность через однослойную и многослойную плоскую стенки при граничных условиях первого рода

Рассмотрим плоскую стенку толщиной δ. Пусть на левой поверхности стенки поддерживается температура t₁, а на правой температура t₂. Теплопроводность λ материала стенки практически постоянна. Внутри стенки нет источников теплоты. Требуется определить температурное поле в стенке и плотность теплового потока q. Согласно закону Фурье, тепловой поток проходящий через стенку, прямо пропорционален поверхности, разности температур t₁ и t₂ и обратно пропорционален толщине δ. Тогда Плотность теплового потока q (Вт/мК) определяют из выражения Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/λ (м²К/Вт) - термическим сопротивлением (R_λ) теплопроводности. Схема передачи теплоты теплопроводностью через плоскую однослойную стенку Передача теплоты может осуществляться через многослойную плоскую стенку. Примером может служить теплоизоляционное ограждение стационарных холодильных камер. Рассмотрим определение теплового потока теплопроводностью через многослойную стенку (рис. 4.4). Схема передачи теплоты теплопроводностью через плоскую многослойную стенку В этом случае термическое сопротивление многослойной стенки определится как сумма термических сопротивлений всех слоев: R_λ =δ/λ₁+δ₂/λ₂+…+δ_n/λ_n Плотность теплового потока равна Распределение температур в пределах каждого слоя – линейное, однако в различных слоях угол наклона температурной прямой отличается: более резко изменяется температура в том материале, который является лучшим теплоизолятором или имеет меньшее значение λ.