51. Записати формули для обчислення математичного сподівання та дисперсії : а) функції д.В.В.; б) фцнкції н.В.В. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

А) Математичним сподіванням д.в.в. суму добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності.

Нехай випадкова величина Х може приймати тільки значення х₁,х₂,…,х_n, ймовірності яких відповідно рівні р₁,р₂, …, р_n. Тоді математичне сподівання М(Х) випадкової величини Х визначається рівністю:

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n

Якщо д.в.в. Х приймає злічену множину можливих значень, то

М(Х)=

причому математичне сподівання існує, якщо ряд в правій частині рівності сходиться абсолютно.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання в.в. Х, знаючи її закон розподілу

Х 3 5 2

Р 0.1 0.6 0.3

М(Х)= 3*0.1+5*0.6+2*0.3=3.9

Дисперсією випадкової величини х називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання для ДВВ:

D(X)=M[X-M(X)]

Приклад 2. Знайти дисперсію в.в. Х, яка задана наступним законом розподілу:

Х 2 3 5

Р 0.1 0.6 0.3

М(Х )=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.3

D(X)=13,3 – (3,5) =1,05

Б) Математичним сподіванням н.в.в. Х, можливі значення якої належать відрізку [а, b] називається визначений інтеграл:

Якщо можливі значення належать всій осі,то

Дисперсією н.в.в. називають математичне сподівання квадрату її відхилення. Якщо можливі значення Х належать відрізку [а, b], то

Якщо можливі значення належать всій осі х, то

52. Дати означення емпіричної та теоретичної частот, записати формулу для обчислення теоретичних частот для розподілу Пуассона.

Емпіричними частотами називають фактично спостерігаємі частоти n_i. Нехай є наміри допустити, що вивчаєма величина Х розподілена по деякому визначеному законом. Щоб перевірити, чи співпадає дане припущення з даними спостереження., вичисляють частоти спостерігаємих значень, тобто знаходять теоретичну частоту n_i кожного з спостерігаємих значень в припущення, що величина Х розподілена по припущеному закону.

Теоретичні, на відміну від фактичних спостережуваних емпіричних частот називають частоти n_i, знайдені теоретично (вичисленням). Теоретичні частоти знаходять за допомогою рівності n_i=Р_і* n.

Для розподілу Пуассона:

У випадку, коли ВВ розподілена нормально, то вирівнюючі частоти можуть бути знайдені за формулою:

Де n- число випробувань (об‘єм вибірки), h-довжина часткового інтервалу, σ-вибіркове середньоквадратичне відхилення, u_i=(x_i- _B)/σ.

Наприклад, для розподілу Пуассона:

xi	15	20	25	30
ni	6	13	38	74

Р(0)=0,33469, Р(1)=0,0,251021,….

Вир

116

174

131

65

Х_в=34,7. σ_в=7,38.

55