4. Для перевірки правильності основної статистичної гіпотези Но необхідно:

1) визначити гіпотезу Н1, альтернативну до гіпотези Но;

2) обрати статистичну характеристику перевірки;

3) визначити допустиму імовірність похибки першого роду, тобто рівень значущості α;

4) знайти за відповідною таблицею критичну область (критичну точку) для обраної статистичної характеристики.

До критичної області належать такі значення статистичної характеристики, при яких гіпотеза Но відхиляється на користь альтернативної гіпотези Н1.

Якщо гіпотеза Но правильна, то з імовірністю α значення вибіркової функції будуть належати критичній області.

Так, при перевірці гіпотези Но про рівність дисперсій двох нормальних сукупностей при альтернативній

H1 : D(X)>D(Y)

Треба знайти спостережене значення критерія Фішера-Снедекора, тобто

Fcn=S1*S1/S2*S2,

А потім з таблиці критичних точок цього розділу по заданому рівню значущості α та степенях вільності k1=n1-1 та k2=n2-1 знайти Fkp (α; k1; k2).

Якщо Fcn<Fkp, то гіпотеза Но приймається.

Якщо Fcn>Fkp, то Но відхиляють.

5.Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.

Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)

Властивості:

0≤ F(x,y)≤1;

F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1;

Мають місце граничні співвідношення: F(-∞ ,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1;

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)

6.Дати означення щільності розподілу імовірностей двовимірної випадкової величини. Навести її основні властивості та імовірнісний зміст. Записати формули для обчислення імовірності влучення випадкової точки:а) в довільну двовимірну область Д; б) в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Пояснити зміст позначень.

Законом розподілу дискретної двохвимірної випадкової величини називають перелік можливих значень цієї величини ( , ) та їх імовірностей p( , ), і=1,2,….,n; k=1,2,…,m. Найбільш часто закон розподілу двохвимірної випадкової величини задають у вигляді таблиці з двома входами. У першому рядку таблиці записують усі можливі значення компоненти Х. У першому стовпчику записують усі значення компоненти У. На перетині k-го рядка та і-го стовпчика записують імовірності p( , )того, що двохвимірна випадкова величина (Х,У) прийме значення ( , )і=1,2,….,n; k=1,2,…,m.

Законом розподілу двохвимірної випадкової величини дозволяє отримати закони розподілу кожної компоненти.

Властивість 1: Двовимірна платність імовірності не додатня:

f(x,y)≥0

Доведення: Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник зі сторонами ∆х і ∆у є не додатнє число ;площа цього трикутника позитивне число. Следоватильно, відносини цих двох чисел, а значить і їх приділ (при ∆х 0 і ∆у 0), які рівні f(x,y) є не додатнє число.

f(x,y)≥0

Властивість 2: Подвійний несобственний інтеграл з безкінечними приділами від двомірної платності =1

f(x,y)dxdy=1

Доведення: Безкінечні приділи інтегрірованія вказують що обласю інтегріровання слугує вся плоскість хОу; поскільки подія состоящач в тому що випадкова точка попаде при експерименті на плоскість хОу, дійсно ,то ймовірність цієї події =1.

f(x,y)dxdy=1

А) Переходячи до приділу при ∆х 0 і ∆у 0 отримаєм:

Б)P(

X=

Питання №7

СТАТИСТИЧНІ КРИТЕРІЇ ТА ОБЛАСТІ

1. Статистичний критерій – випадкова величина К, розподіл якої (точний або наближений) відомий і яка застосовується для перевірки основних гіпотези

Якщо статистична характеристика розподілена:

• нормально,то критерій позначають не К, а літерами U або Z

• за законом Фішера-Снедекора, то F

• за законом Стьюдента, то Т

• за законом «Xi-квадрат», то

2. Спостереженим значенням критерію узгодження називають значення відповідного критерію, обчислене за даними вибірки.

3. Критчною областю називають сукупність значень критерію, при яких основа гіпотеза відхиляється.

4. Областю прийняття гіпотези (областю допустимих значень) називають множину значень критерію, при яких гіпотезу приймають.

5. Критичними точками (межами) критерію К називають точки «Ккр», які відокремлюють критичну область від області прийняття гіпотези.

6. Розрізняють однобічну (правобічну та лівобічну) та двобічну критичні області.

Правобічною називають критичну область, що визначається нерівністю К>Ккр, де Ккр – додатне число.

Лівобічною називають критичну область, що визначається нерівністю К<Ккр, де Ккр – відємне число.

8.Дати означення умовного закону розподілу складових системи д.в.в. Записати формули для обчислення умовних ймовірностей складових систем д.в.в. Пояснити зміст позначень. Дати означення умовної щільності імовірностей складових системи н.в.в.

Умовним розпреділенням складаючий Х при У= називають сукупність умовних імовірностей │ , │ ,…. │ , в придположенні, що подія У= уже наступило. Аналогічно обчислюється умовні розпреділення складової У.

- (1)

│ = , /p( -(2)

-(3)

Умовна щільність ) розпреділення складаючих Х при даному значенні Y=y називають відношення щільності совмесному розпреділенню f(x,y) системи (X,Y) до щільності складової Y:

)=f(x,y)/ . Підкреслимо,що відмінність умовної щільність ) від безумовної щільності состоит в том що функція ) дає розпреділення Х при умові що складова Y прийняла значення Y=y; функція же дає розпреділення Х незалежно від того , які з можливих значень прийняла складова Y.

)=f(x,y)/ .

Питання №9

ЗАЛЕЖНІСТЬ/НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Незалежні – якщо закон розподілу однієї з двох випадкових величин не залежить від того, які можливі значення прийняла друга величина.

Залежні – якщо закон розподілу однієї з двох випадкових величин залежить від того, які можливі значення прийняла друга величина.

Теорема:

Щоб випадкові величини Х та У були незалежні, необхідно і достатньо, щоб інтегральна функція системи (Х,У) дорівнювала добутку інтегральних функцій кожної з них

F(x,y)=F1(x)*F2(y)

Наслідок:

Щоб неперервні випадкові величини Х та У були незалежними, необхідньо і достатньо, щоб диференціальна фунцкія системи (Х,У) дорівнювала добутку дифферинціальних фунцкій складових

f(x,y)=f1(x)*f2(y)

10. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) М(х); б)D(x); в) початкового та центрального моментів; г)асиметрії; д)ексцесу; е) моди; ж)медіани. Записати формули для їх обчислень для д.в.в. та н.в.в.

М(х)-називають число, яке дорівнює сумі добутків усіх можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(х)= -для ДВВ

М(х)= -для НВВ

D(x)-називають число, яке =математичному сподіванню квадрата відхилення ДВВ Х від її математичного сподівання.

D(x)=M((X-M( -для ДВВ

D(x)= -для НВВ

D(x)=

Почаковим моментом порядку k випадкової величини Х називають математичне сподівання величини

, або

Центральним моментом-порядка k випадкової величини Х називають М(Х) величини (Х-М(

або

Асиметрія-це скошеність графіка і залежить від коефіцієнта g. Якщо g>0 то буде лівостороння скошеність, якщо g<0 то правостороння скошеність.

g=

Ексцес-це показник гостровершинності. Якщо E>0 то полігон гостровершний, а якщо E<0 то плосковершний.

g=

Мода-називається варіанта, яка найбільш часто зустрічається в даному варіаційному ряді . Для НВВ за моду іноді беруть серединне значення напівсигмента.

Медіана-варіанта, яка розділяє дискретний варіаційний ряд на 2 частини, рівні між собою за числом варіант.