47. Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y та X (y на X). Пояснити зміст позначень. Дати означення коефіцієнту регресії, залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.

Теорема. Лінійна середньоквадратична регресія Y на X має вигляд

де m_x=M(X), m_y=M(Y),

, r = - коефіцієнт кореляції величин Y та X.

Доведення. Розглянемо функцію двох незалежних аргументів і :

(1)

Враховуючи, що М(Х- m_x)=М(Y- m_y)=0, М[(Х- m_x)(Y- m_y)]= , і зробивши викладки отримаємо

Дослідимо функцію на екстремум, для чого прирівняємо до нуля частинні похідні:

, звідси Легко впевнитися, що при цих значеннях і досліджувана функція приймає найменше значення.

Отже, лінійна середньоквадратична регресія Y та X має вигляд:

, або

Коефіцієнт називають коефіцієнтом регресії Y на X , а пряму

називають прямою середньоквадратичної регресії Y на X.

Підставивши знайдені значення і в співвідношення (1), отримаємо мінімальне значення функції рівне . Величину називають залишковою дисперсією випадкової величини Y відносно випадкової величини X; вона характеризує величину помилки, яку допускають при заміні Y лінійною функцією . При r= 1 залишкова дисперсія дорівнює нулю; іншими словами, при цих крайніх значеннях коефіцієнта кореляції не виникає помилки при представленні Y у вигляді лінійної функції від X.

48. Дати означення генеральної та вибіркової середніх. Довести незміщеність вибіркової середньої як оцінки генеральної середньої. Сформулювати властивість стійкості вибіркових середніх.

Генеральною середньою називають середнє арифметичне значень ознаки генеральної сукупності.

Якщо всі значення х₁,х₂,…,х_N ознаки генеральної сукупності об’єму N різні, то

=(х₁+х₂+…+ х_N)/ N

Якщо значення ознаки х₁,х₂,…,х_k N₁, N₂, …, N_k, причому N₁+ N₂+ …+ N_k=N, то

=(х₁N₁+х₂N₂+…+ х_kN_k)/ N,

Тобто генеральна середня є середня зважена значень ознаки з вагами, що рівні відповідним частотам.

Вибірковою середньою називають середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності.

Якщо всі значення х₁,х₂,…,х_n ознаки вибіркової сукупності об’єму n різні, то

=(х₁+х₂+…+ х_n)/ n

Якщо значення ознаки х₁,х₂,…,х_k n₁, n₂, …, n_k, причому n₁+ n₂+ …+ n_k=N, то

=(х₁n₁+х₂n₂+…+ х_kn_k)/ n, або

= ,

Тобто вибіркова середня є середня зважена значень ознаки з вагами, що рівні відповідним частотам.

Нехай з генеральної сукупності (в результаті незалежних спостережень над кількісною ознакою Х) вилучена повторна вибірка об’єму n зі значеннями ознаки х₁,х₂,…,х_{n .}Будемо вважати ці значення ознаки різними. Нехай генеральна середня невідома і необхідно оцінити її за даними вибірки. В якості оцінки генеральної середньої приймають вибіркову середню

=(х₁n₁+х₂n₂+…+ х_kn_k)/ n

Впевнимося, що - незміщена оцінка, тобто покажемо, що математичне сподівання цієї оцінки рівне . Будемо розглядати як випадкову величину і х₁,х₂,…,х_n як незалежні, однаково розподілені випадкові величини Х₁, Х₂, …, Х_n. Оскільки ці величини однаково розподілені, то вони мають однакові числові характеристики, а саме однакові математичні сподівання, яке позначимо через a. Так, як математичне сподівання середнього арифметичного однаково розподілених випадкових величин рівне математичному сподіванню кожної з величин, то

М(Х_в)= М[(X₁+X₂+…+X_n)/n]=a (1)

Прийнявши до уваги, що кожна з величин має той же розподіл, що і генеральна сукупність, значить і числові характеристики цих величин і генеральної сукупності однакові. А саме, математичне сподівання а кожної із величин рівне математичному сподіванню ознаки Х генеральної сукупності, тобто

М(Х)= =а

Замінивши в формулі (1) математичне сподівання а на отримаємо

М(Х_в)=

Тим самим доведено, що вибіркова середня є незміщена оцінка генеральної середньої.

При збільшенні об’єму вибірки n вибіркова середня прямує по ймовірності до генеральної середньої, а це і значить, що вибіркова середня є состоятельная оцінка генеральної середньої. Якщо по декільком вибіркам достатньо великого об’єму із однієї і тієї ж генеральної сукупності будуть знайдені вибіркові середні, то вони будуть приблизно рівні між собою. В цьому і полягає властивість стійкості вибіркових середніх.