2.2. Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить где ― часть эллипса лежащая в  квадранте.

Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в  квадранте, то Поэтому, т.к. то применяя формулу (2.3), получим

Задача 2. Вычислить где ― кривая, заданная уравнением

Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (2.5). Так как то

Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность

Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2.4). Так как то

3. . Поверхностные интегралы первого рода

Пусть функция, непрерывная на некоторой гладкой ограниченной поверхности . Разобьем поверхность на частей , не имеющих общих внутренних точек, и в каждой части выберем произвольную точку Составим интегральную сумму

(2.7)

где ― площадь

Пусть Если интегральная сумма (2.7) имеет предел при не зависящий от способа дробления поверхности на части и от выбора точек в них, то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности и обозначается т.е.

(2.8)

Если через обозначить площадь поверхности , то из формулы (2.8) следует при что

(2.9)

Если на поверхности распределена с плотностью некоторая масса , то

(2.10)

Координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам (1.5) ― (1.7).

Если поверхность задана уравнением то вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по области - проекции поверхности на плоскость :

(2.11)

где Формула (2.9) для вычисления площади в этом случае принимает вид

(2.12)

Если гладкая поверхность задана параметрическими уравнениями

где функции имеют непрерывные частные производные первого порядка в замкнутой области то

(2.13)

где

(2.14)

2.4. Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить где - часть поверхности вырезанная поверхностью

Решение. Поверхность является частью параболоида , отсеченной конусом (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Поверхность однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей получается, если из уравнений и исключить

Разрешая уравнение поверхности относительно получаем Следовательно, Поэтому, воспользовавшись формулой (2.11), получаем

Задача 2. Найти массу поверхности сферы радиусом если ее поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до вертикального диаметра.

Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось по вертикали, получим, что расстояние от точки сферы до оси равно значит, плотность .

Согласно формуле (2.10)

где сфера, центр которой находится в начале координат.

Для вычисления интеграла применим формулу (2.13), поэтому запишем параметрическое представление сферы

По формулам (2.14) вычислим

Следовательно,