37.Таблица изображений

40.Применение операционного исчисления для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

        x ⁽ⁿ⁾ + a₁ x ^{(n - 1)} + a₂ x ^{(n - 2)} + … + a_{n - 1} x ′ + a_n x = f (t),          x(0) = x₀,    x′ (0) = x₁,    x″ (0) = x₂,    …,    x ^(n -1) (0) = x_n -1.

        Начальные условия в этой задаче заданы в точке t₀ = 0. Если начальные условия задаются в другой точке t₀ ≠ 0, то заменой аргумента u = t - t₀ их сдвигают в точку u₀ = 0.          Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x(t), её производные до n-го порядка, правая часть f(t) являются функциями-оригиналами, и x(t) X(p). Тогда x ′(t) p X(p) − x(0) = p X(p) − x₀, x ″(t) p² X(p) − p x₀− x₁, …, x ⁽ⁿ⁾(t) p ⁿ X(p) − p ^{n - 1}x₀ − p ^{n - 2} x₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1}, и изображение задачи будет иметь вид p ⁿ X(p) − p ^{n - 1}x₀ − p ^{n - 2} x₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1} + a ₁( p ^{n - 1} X(p) − p ^{n - 2}x₀ − p ^{n - 3} x₁ − … − x _{n - 2}) + … + a _{n - 1}( p X(p) − x₀) + a _n X( p) = F( p), гдеF( p) f (t) - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X(p) алгебраическое уравнение, решив которое, находим X(p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши. 

Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Заметим, что решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта x″ − 2 x′ + x = e ^t,   x(0) = C₁,   x′(0) = C₂, изображение будет иметь вид    . Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения x_{общ. одн.} = С₁ e ^t + (С₂ − С₁) t e ^t и частного решения  , следовательно, является общим решением уравнения. 

38.Основные теоремы операционного исчисления

(Теорема подобия). Если И То умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число:

(Теорема смещения). Если И - произвольное комплексное число, то изменение (смещение) аргумента изображения на величину а приводит к умножению оригинала на величину

(Теорема запаздывания). Если и То запаздывание аргумента оригинала на положительное число Приводит к умножению изображения на величину

(Теорема умножения). Если то

Замечание. Интеграл в правой части этой формулы называется складкой, или сверткой функции и а операция получения складки называется свертыванием функций. В связи с этим теорему умножения можно сформулировать так: умножение изображений приводит к свертыванию их оригиналов. Эту теорему называют также теоремой свертывания и теоремой Бореля.

Свертка функций обладает переместительным свойством:

26.Интегрирование функции комплексного переменного

Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а G – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G; z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t=a, t=b, то

где z(t)=x(t)+iy(t).

Пусть Г – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких частей Г1, Г2...Гn. Тогда

Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то

(теорема Коши),

и для любой внутренней точки z0ОG имеем

(интегральная формула Коши).

Кроме того, справедлива формула

Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

(Вот это идёт после «области G, то интеграл…… не зависит»)

где

F(z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F'(z)=f(z).

Для нахождения первообразной аналитической функции f(z) применяют те же табличные формулы и приемы интегрирования, что и при нахождении неопределенных интегралов для функций действительного переменного.

Пусть теперь f(z) – аналитическая функция, как во внутренних точках (n+1) – связной области D, ограниченной кусочно-гладкими кривыми g0, g1,... gn, (причем каждая из кривых g1,... gn лежит вне остальных и все они расположены внутри g0), так и на границе, т. е. на граничных кривых. В таком случае справедлива теорема Коши для многосвязных областей:

Следует отметить, что в этой ситуации сами внутренние кривые обходятся в “отрицательном” направлении, т. е.

Отсюда немедленно вытекает равенство:

здесь кривые g0, g1,... gn обходятся в “положительном” направлении, т. е. против часовой стрелки.

Если теперь z0ОD, то выполняется также и интегральная формула Коши:

29.Функциональные ряды: ряды из аналитических функций. Пусть   – функции комплексной переменной z. Ряд

- носит название функционального ряда. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.Самым неприятным является тут то, что   зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор   и на то, что теперь   зависит только от . Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. .1). Если все   непрерывны в области G, то сумма ряда   есть также непрерывная области G функция. 2). Если все   аналитичны в области G, то сумма ряда   есть также аналитическая в области G функция.. 3). Если ряд   сходится равномерно в области G, то в нем допустим почленный переход к пределу, то есть

. 4). Если ряд   сходится равномерно в области G, то его можно почленно интегрировать, то есть

. 5). Если ряд   сходится равномерно в области G, то его можно почленно дифференцировать любое число раз, то есть

.

39.Восстановление оригинала по изображению По данному графику оригинала найти изображение. Построим аналитическое выражение для данной функции, на основе общего уравнения прямой, проходящей через  две точки (t₁, y₁) , (t₂, y₂)   =   (5) и свойств единичной функции  (t-а)=  (t)  (t)-  (t -а) Решение. Функцию на интервале [0 , a] описывает разность двух единичных функций  (t) -  (t - а) . Первую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (2а, 0), (а, 1): y =-  (t – 2a). Для перехода от бесконечной прямой к отрезку на интервале [a, 3a] умножим уравнение на разность (t -а) - (t -3а) Вторую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (4а,0) , (3а,-1): y = (t – 4a), и умножим уравнение на  (t - 3а). Сумма этих трех выражений определит аналитический вид функции 

f(t) =  (t) -  (t - а) -   (t – 2a) [ (t - а) -  (t - 3а)] +   (t – 4a) [ (t -3а)] Представим f(t) в виде суммы слагаемых двух типов  (t - b) и (t – b) (t - b)  f(t) = (t) - (t - а) - (t – a) (t - а) + (t - а) + (t – 3a) (t - 3а)+ (t -3а)+ +   (t – 3a)  (t - 3а) -  (t - 3а) =  (t) -  (t – a) (t - а) +  (t – 3a) (t - 3а)

Совершим переход к искомому изображению  F(t) =:   -   +  .