Интегралы вида

Пусть функция  , удовлетворяет условиям: 1)  , т.е. степень знаменателя больше степени числителя по крайней мере на два; 2)   для   — действительных, т. е.   не имеет особых точек на действительной оси.

Тогда справедливы равенства:

где   — все особые точки функции  , расположенные выше оси   в случае формулы 1 и ниже оси   — в случае формуль 2

Заметим, что если   — четная функция, то можно, используя эти формулы, вычислять интегралы вида  , так как для четных функций имеет место равенство  .

34.Определение и свойства преобразования Лапласса

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию   комплексного переменного (изображение) с функцией   вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Прямое преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа   существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл  ;

2. : преобразование Лапласа существует, если интеграл   существует для каждого конечного   и   для  ;

3.  или   (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции   (производная от  ) для  .

Примечание: это достаточные условия существования.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного  , называется функция   вещественной переменной, такая что:

где   — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1.Если изображение   — аналитичная функция для   и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём   для  .

2.Пусть  , так что   аналитична относительно каждого   и равна нулю для  , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

35-36.Существование изображений. Свойства изображений

Теорема 4.1. Если функция f(t) является оригиналом, то для этой функции существует преобразование Лапласа и её изображение F(p) определено в полуплоскости Re p>m₀, где m₀ – показатель роста функции f(t).

Наиболее важное свойство изображения F(p) заключается в том, что оно является аналитической функцией в полуплоскости Re p>m₀, т.е. F(p) как комплексную функцию можно любое число раз дифференцировать, и к ней применимы методы теории функции комплексного переменного. необходимый признак существования изображения 

Теорема 4.2. Если функция F(p) является изображением функции f(t), то a) Линейность изображения.

     Если  , то

(98)

где   - заданные числа,   - показатели степени роста функций  .

 б) свойство "растяжения"

     Пусть  . Тогда

(100)

Действительно,

    в) теорема смещения

     - если  , то для любого комплексного числа 

(125)

     Действительно, функция   удовлетворяет условиям существования изображения в области  , тогда

(126)

     Используя рассмотренные свойства изображений, можно по известным изображениям получать новые.