81. Нелінійна регресія.

Якщо в рівняння множинної регресії змінні входять як , то регресія називається нелінійною.

У загальному випадку нелінійна регресія записується в такому вигляді:

де параметри є сталими невідомими величинами, які підлягають статистичним оцінкам, а — випадкова величина, яка має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками і при цьому випадкові величини між собою не корельовані.

85) Визначення та приклади ланцюгів Маркова.

Ланцюг Маркова в математиці це випадковий процес, що задовольняє властивість Маркова і який приймає скінченну чи зліченну кількість значень (станів). Існують ланцюги Маркова як з дискретним так і з неперервним часом. В даній статті розглядається дискретний випадок.

Інтуїтивне визначення

Нехай I  -деяка скінченна чи зліченна множина елементи якої називаються станами. Нехай деякий процес в момент часу n (де n=0,1,2,3…) може перебувати в одному із цих станів, а в час n+1перейти в деякий інший стан(чи залишитися в тому ж). Кожен такий перехід називається кроком. Кожен крок не є точно визначеним. З певними ймовірностями процес може перейти в один з кількох чи навіть усіх станів. Якщо імовірності переходу залежать лише від часу n і стану в якому перебуває процес в цей час і не залежать від станів в яких процес перебував у моменти 0, 1, … , n-1 то такий процес називається (дискретним) ланцюгом Маркова. Ланцюг Маркова повністю задається визначенням ймовірностей p_i перебування процесу в стані   в час n=0 і ймовірностей   переходу зі стану   в стан  в час n. Якщо ймовірності переходу не залежать від часу (тобто   однакові для всіх n) то такий ланцюг Маркова називається однорідним. Саме однорідні ланцюги Маркова є найважливішими на практиці і найкраще вивченими теоретично. Тому саме їм приділятиметься найбільша увага у цій статті.

Формальне визначення

Послідовність дискретних випадкових величин   називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо

.

Тобто майбутні значення послідовності залежать лише від теперішнього стану і не залежать від минулих.

Матриця  , де

називається ма́трицею ймовірностей переходу на  -му кроці, а вектор  , де

— початковим розподілом ланцюга Маркова.

Очевидно, матриця ймовірностей переходу є стохастичною, тобто

.

Ланцюг Маркова називається однорідним якщо:

,

або еквівалентно:

для всіх n.

Граф переходів ланцюга Маркова

Поширеним способом візуального задання ланцюга Маркова є граф переходів. Вершини цього графа ототожнюються зі станами ланцюга Маркова, а орієнтовне ребро проходить з вершини i у вершину j проходить лише у випадку коли імовірність переходу між відповідними станами нерівна нулю. Дана ймовірність переходу також позначається біля відповідного ребра.

Приклад

Розглянемо основні дії з ланцюгами Маркова на наступному прикладі:

Візьмемо початковий розподіл:

Після першого кроку одержимо роподіл :

Після двох кроків одержиться наступний розподіл:

Далі можна продовжити за формулами:

Оскільки даний ланцюг Маркова є нерозкладний і аперіодичний існує єдиний граничний розподіл   :

Його можна знайти за такими формулами:

З умови  ,одержується єдиний результат :