Рівняння лінійної регресії. Довірчий інтервал для лінії регресії
Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:
=а+bх, (1.1)
де - вирівняне значення у для відповідного значення х.
Константи а і b - константи, які передбачають зменшення суми квадратів відхилень між фактичним значенням у і вирівняним значенням .
(у - )2 min (1.2)
Коефіцієнт а характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат.
Коефіцієнт b характеризує кут нахилу цієї прямої до осі абсцис, а також на яку величину зміниться при зміні х на одиницю.
Коефіцієнти а і b знаходять із системи рівнянь (1.3), що випливає з формули (1.2).
(1.3)
Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної моделі.
Щоб зробити висновок про доцільність використання знайденої моделі проводять аналіз за наступними напрямками:
1) Розраховують критерій Фішера та перевіряють знайдену модель на адекватність вихідним даним;
2) Розраховують і аналізують дисперсію показників;
3) Розраховують і аналізують коефіцієнт кореляції;
4) Розраховують та аналізують коефіцієнт еластичності;
5) Розраховують довірчий інтервал для прогнозованих показників.
Довірчий інтервал.
Вихідна економетрична модель лінійної регресії передбачає наявність випадкової величини Е, яка вимірює похибку між фактичним значенням і вирівняним значенням показника. Для розрахунку цих похибок використовують поняття "стандартного відхилення"
, (1.13)
де Sr – стандартна похибка рівняння регресії
n-2 – число значень ряду зменшене на кількість параметрів рівняння регресії (тобто а і b).
Розрахувавши стандартну похибку рівняння регресії знаходимо стандартну похибку прогнозу:
(1.14)
Для
розрахунку довірчих меж потрібно знайти
значення
.
Нижня
межа довірчого інтервалу
;
верхня межа довірчого інтервалу
.
Прогнозне значення ур=a+bxp буде знаходитись в межах від уmin до ymax.
(1.15)
де t – критерій Стюдента (знаходиться з таблиць в залежності від ймовірності P і ступеня вільності n-m-1).
Вибірковий коефіцієнт кореляції.
Рівняння лінійної парної регресії:
або
,
де
і називають коефіцієнтом
регресії.Для
обчислення
необхідно знайти
;
;
Як бачимо, коефіцієнт кореляції близький за своїм значенням до одиниці, що свідчить про те, що залежність між Х та Y є практично лінійною.
Множинна регресія, множинний коефіцієнт кореляції та його властивості.
Регресія (рос. регрессия, англ. regression; нім. Regression f) — форма зв'язку між випадковими величинами. Закон зміни математичного очікування однієї випадкової величини залежно від значень іншої. Розрізняють прямолінійну, криволінійну, ортогональну, параболічну та інші регресії, а також лінію і площину регресії.
Крива регресії Y на Х є залежність умовного математичного очікування величини Y від заданого значення Х:
my/x = φ (х, а, b, c, …),
де а, b, c, … — параметри рівняння регресії.
Регресія дозволяє за величиною однієї ознаки (змінна x) знаходити середні (очікувані) значення іншої ознаки (змінна У), зв'язаної з x кореляційно. Оскільки в дослідженнях конкретний вид взаємозв'язків невідомий, одне з головних завдань регресійного аналізу полягає у доборі відповідного виразу У = / (X), графік якого проходить через емпіричні точки (або досить близько до них) і таким чином зв'язує змінні x і У.
Множинна регресія - це оцінювання, наприклад, змінної У лінійною комбінацією т незалежних зміннихх1,х2, хт. Найпростіший варіант регресії має місце для т=2, коли необхідно спрогнозувати залежність однієї змінної У від двох змінних х1 і Х2. Рівняння такої множинної регресії має вигляд:
? = Бх ■ X! + Б2 ■ X2 + Б0,
де Б1 = Ь1 o Зу/^; Б2 = Ь2 ■ $у/$г;, Б0 = У - Ах■ X1 - А2 o X2;
Ь1 = (Гу1 ~ Гу2 o Г12 )/(1 - Г122 ) ; Ь2 = (Гу2 " Гу1 ' Г12 )/(1 " ^2 )
зу, з1, з2 , У, X1, X2 - стандартні відхилення і середні значення У , х1 і х2 ; Гу1, Гу2, г12 - коефіцієнти парної кореляції Пірсона між У і Х1, У і Х2, Х1 і Х2. Для оцінювання зв'язку, з одного боку, змінної У, а з іншого - двох змінних Х1 і Х2, використовують коефіцієнт множинної кореляції:
Ку-1,2 =д/Ь1 o Гу1 + Ь2 o Гу2 .
Множинний коефіцієнт кореляції
Множинний коефіцієнт кореляції визначається тоді, коли на дану ознаку
одночасно комплексно впливають дві інших ознаки (фактора) X i Z. В таких
випадках визначається не парний (по 2-х ознаках), а сукупний коефіцієнт
кореляції для 3-х ознак − X, Y, Z:
На відміну від парних коефіцієнтів кореляції сукупний коефіцієнт кореляції має лише позитивне значення.
Іноді необхідно при трьох взаємообумовлюючих факторах виявити взаємовплив лише для двох з них. Тоді застосовується коефіцієнт парціальної кореляції для обраних двох факторів (ознак). Це частинний (частковий) або парціальний коефіцієнт кореляції:
Відповідно
