Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида , где - вторая производная от функции , - производная от функции , - искомая функция, a, b - постоянные, - некоторая функция, называется уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то это уравнение называется однородным. Для того, чтобы решить это дифференциальное уравнение надо составить так называемое характеристическое уравнение. Если дано уравнение

, (*)

то характеристическое квадратное уравнение имеет вид .

При решении квадратного уравнения могут встретиться три случая:

1. корни уравнения и - действительные различные;

2. корни уравнения и - действительные равные, ;

3. корни уравнения и - комплексные сопряженные вида

, .

В первом случае решение уравнения (*) имеет вид .

Во втором случае решение уравнения (*) имеет вид

.

В третьем случае уравнение (*) имеет вид .

Примеры. Решить дифференциальное уравнение

1. , , , , ;

2. , , , ;

3. , , , .

Частные решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение дифференциального уравнения второго порядка, содержащее две произвольных постоянных, называется общим решением. Если заданы начальные условия и , то произвольные постоянные могут быть определены. Если найденные значения произвольных постоянных подставить в общее решение, то получим частное решение. Частное решение не содержит произвольных постоянных.

Пример. .

Þ ; ;

;

; .

Составляем систему уравнений:

Þ ; .

Частное решение имеет вид: .

Задание № 35

Найти общие решения дифференциальных уравнений и частные решения при начальных условиях ,

1. ; ; ;

2. ; ; ;

3. ; ; ;

4. ; ; ;

5. ; ; ;

6. ; ; ;

7. ; ; ;

8. ; ; ;

9. ; ; ;

10. ; ; ;

11. ; ; ;

12. ; ; ;

13. ; ; ;

14. ; ; ;

15. ; ; ;

16. ; ; ;

17. ; ; ;

18. ; ; ;

19. ; ; ;

20. ; ; .

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (нлду)

Пусть дано неоднородное уравнение . Тогда его общее решение является суммой , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, а - некоторое частное решение данного неоднородного уравнения. В некоторых случаях может быть найдено методом подбора.

Пусть , тогда частное решение следует искать в виде

,

где r - число корней характеристического уравнения, совпадающих с ; А и В - некоторые неизвестные коэффициенты.

Пример:

(см. выше)

(здесь , т.к. не является корнем характеристического уравнения)

Далее подставляем найденные функции в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при и .

Решая систему , находим , .

Таким образом, общее решение НЛДУ

.

Примечание: если в записи правой части отсутствует ( ), то частное решение ищется в виде .