10Применение производной для исследования функций

Если на участке производная функции , то на этом участке функция возрастает. Если , то функция убывает. Область определения функции можно разбить на участки, называемые интервалами монотонности, на которых производная функции сохраняет постоянный знак. Эти интервалы разделяются между собой так называемыми критическими точками, в которых или не существует.

Если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с плюса на минус, то в этой точке существует максимум функции, т.е. функция в этой точке достигает значения большего, чем в некоторой окрестности этой точки. Максимум функции называется иногда локальным максимумом. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке существует минимум.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на некотором интервале необходимо:

1. найти критические точки функции;

2. выбрать те критические точки, которые принадлежат данному интервалу;

3. вычислить значения функции в этих точках и на концах интервала;

4. выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на интервале [-3, 0].

1. ; ; ;

2. на интервале [-3, 0] лежит только одна критическая точка ;

3. ; ; .

Ответ: наибольшее значение - ,

наименьшее значение - .

Построим схематический график функции, для чего вычислим ее значения в критических точках, а также найдем интервалы возрастания и убывания:

;

Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется выражение , где - приращение независимой переменной.

Дифференциал функции - это часть ее приращения, линейная относительно приращения независимой переменной. Дифференциал называется также главной частью приращения функции.

Задание № 21

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном интервале.

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)
17)	18)
19)	20)

Задание n 22

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

1) 11)

2) 12)

3) 13)

4) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)

11Интегральное исчисление

Функция называется первообразной функции , если . Первообразные для одной и той же функции отличаются на произвольную постоянную C, где C - константа. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом, .