Задание № 3

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

3Векторы и действия над ними

Вектором называется направленный отрезок. Принято считать все векторы, имеющие одинаковую длину и направление, равными.

Длина вектора называется его модулем.

Вектор может быть задан в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК). Тогда проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом случае вектор изображается тремя числами в круглых скобках

,

или суммой

.

Длина вектора, заданного в ДПСК

.

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение записывается как или , т.е.

.

Если векторы и заданы в ДПСК, то скалярное произведение равно

.

Косинус угла между векторам и равен

.

Проекция вектора на вектор равна

.

Векторное произведение - это третий вектор, координаты которого находятся по формуле

.

Вектор перпендикулярен векторам и и его длина равна

.

Если известны координаты точек и , то вектор

Задание n 4

Заданы точки , , , . Найти координаты векторов , , и сумму их длин.

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19) 20)

Задание № 5

Найти:

а) скалярное произведение ;

б) векторное произведение и его модуль ;

в) ;

г) проекцию .

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

Образец решения

;

;

;

;

.

4Аналитическая геометрия на плоскости

Декартовы прямоугольные координаты точки

Говорят, что в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат (ДПСК), если заданы:

1. некоторая точка О, называемая началом координат;

2. три взаимоперпендикулярные оси , и , называемые осями координат.

Векторы , , , совпадающие по направлению с координатными осями и имеющие длину, равную единице, называются базисными векторами ДПСК.

Каждой точке M можно поставить в соответствие вектор, начинающийся в начале координат и кончающийся в точке M. Такой вектор обозначается и называется радиус-вектором точки M. Координаты этого вектора совпадают с координатами точки M. Точка с координатами , , обозначается .

Если задан отрезок AB, где , , то его длина

.

Координаты середины отрезка AB находятся по формулам

; ; .

При решении задач на плоскости везде .

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости в ДПСК может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1. - общее уравнение прямой;

2. - уравнение прямой с угловым коэффициентом;

3. - уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку ;

4. - уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Тангенс угла между двумя прямыми на плоскости, имеющими уравнения

определяется по формуле

.

В частности, если прямые параллельны, то , а если прямые перпендикулярны, то .

10