2Системы линейных уравнений
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Тогда для этой системы можно составить четыре определителя
.
Определитель
получается из определителя D
путем замены 1-го столбца, соответствующего
переменной х,
на столбец свободных членов. Определители
и
получаются соответственно заменой 2-го
и 3-го столбцов определителя D
на столбец свободных членов.
Если
,
то решение системы имеет вид:
;
;
.
Эти формулы называются формулами Крамера.
Задание № 1
Решить системы линейных уравнений, используя формулы Крамера.
1)
;
2)
; 3)
;
4)
;
5)
;
6)
; 7)
;
8)
;
9)
; 10)
;
11)
;
12)
;
13)
; 14)
;
15)
;
16)
;
17)
; 18)
; 19)
;
20)
.
Образец решения
; 
;
; 
;
; 
; 
.
Система уравнений может быть представлена в матричной форме.
Рассмотрим операции, которые можно производить над матрицами.
Пусть даны две матрицы:
, 
.
Если
,
а
,
то суммой матриц одинакового порядка
называется матрица С,
каждый элемент которой равен сумме
соответственных элементов матриц А
и В.
Произведением матрицы А на число a называется матрица, полученная из матрицы А путем умножения каждого из ее элементов на число a.
При некоторых
условиях матрицы можно перемножать
между собой. Так если в ранее рассмотренных
матрицах А
и В
,
т.е. число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В,
то произведение АВ
существует.
Произведением АВ
матрицы А
порядка (
)
на матрицу В
порядка (
)
называется матрица С
порядка (
).
При этом элемент
,
стоящий в матрице С
в i‑й
строке и j‑м
столбце, равен сумме произведений
соответственных элементов i‑й
строки матрицы А
и j‑го
столбца матрицы В.
В случае квадратных
матриц А
и В
произведение существует лишь в тех
случаях, когда эти матрицы имеют
одинаковый порядок, однако, в общем
случае
.
Если
,
то такие матрицы называются перестановочными
или коммутативными.
Обратная
матрица.
Квадратная матрица называется вырожденной
или особенной, если ее определитель
равен нулю и невырожденной (неособенной)
- в противном случае. Если А
- невырожденная матрица, то существует
и притом единственная матрица
,
такая, что
,
где Е - так называемая единичная матрица. В единичной матрице на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
Матрица называется обратной к матрице А.
В терминах матричного умножения можно записать систему
,
где 
, 
, 
.
Матрицы Х и В называются «матрица-столбец». Понятие «матрица-строка» определяется аналогично. Используя обратную матрицу можно найти столбец Х
.
Пример:
, 
,
,
, т.е.
,
,
.
Такая запись особенно удобна, когда левая часть простая или постоянная, а правая часть - переменная, или имеет неудобные для вычисления коэффициенты.
Задание № 2
Дана система уравнений
Записать ее в
матричном виде и решить при условии,
что матрица, обратная для матрицы
,
равна
и вектор
равен:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
.
Решение систем линейных уравнений
методом Гаусса
Метод Гаусса основан на приведении системы уравнений к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований уравнений, таких как:
умножение уравнения на любое число;
сложение уравнений;
перестановка уравнений.
После этого можно выразить одни неизвестные, называемые базисными, через другие, называемые свободными (общее решение).
Пример:
1. Умножаем 1-е уравнение на 2 и вычитаем из 2-го:
2. Умножаем 1-е уравнение на 3 и вычитаем из 3-го
3. Вычитаем 2-е уравнение из 3-го
Получили трапецеидальную форму, т.е. ниже главной диагонали (обведена рамкой) стоят только нули.
Базисные неизвестные
,
,
.
Свободные неизвестные
,
.
Выражаем из последнего уравнения
,
подставляя во 2-е уравнение, получаем
и, подставляя в 1-е уравнение, получаем
.
Таким образом, имеем
-
общее решение,
придавая свободным неизвестным любые значения получаем частные решения, например,
;
;
;
;
.