§ 5. Общая краевая задача. Задача с параметром. Симметризуемые

задачи

1. Общая краевая задача, задача с параметром. Теперь мы в состоянии рассмотреть общую краевую задачу

, ( 198 )

( 199 )

Эта задача редуцируется к задаче с однородными краевыми условиями путем подбора функции , удовлетворяющей краевым условиям (199). Такой подбор легко осуществим.

Пример. В случае краевых условий первого рода

такая функция находится в виде трехчлена

.

В самом деле, определения и получаем систему

определитель которой отличен от нуля.

Задача. Подобрать функцию , удовлетворяющую краевым условиям второго рода (третьего рода).

Коль скоро функция подобрана, то заменой задача (198), (199) сводится к следующей задаче:

,

где .

Таким образом, общая краевая задача сводится к задаче с однородными краевыми условиями, которая была рассмотрена выше. Ее решение дается формулой (мы возвращаемся к обычным обозначениям, т.е. считаем в (199) и равными нулю, а саму задачу (198), (199) – регулярной)

,

где - соответствующая функция Грина. При этом считается, конечно, что выполнено условие Т. Если известны собственные значения и собственные функции оператора (т.е. характеристические числа и собственные функции ядра ), то решение запишется в виде ряда

.

В приложениях часто возникают задачи, содержащие параметр в уравнении, в виде

( 200 )

В силу теоремы Гильберта такая задача редуцируется к эквивалентному интегральному уравнению

, ( 201)

где функция определяется равенством

. ( 202 )

Если не совпадает ни с каким собственным значением оператора (ядра ), то уравнение (201) (а следовательно, и задача (200)) однозначно разрешимо. Его решение представляется, как известно, формулой Шмидта (140), т.е. в виде ряда Фурье по собственным значениям оператора (ядра ). Это соображение позволяет написать решение задачи (200) в виде

.

Здесь функция сама разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

в силу представления (202). Поэтому окончательно получим (так как )

. ( 203 )

То же выражение возникает, если искать решение задачи (200) методом неопределенных коэффициентов в виде

,

разлагая при этом функцию в формальный ряд Фурье

.

Пусть теперь совпадает с одним из собственных значений. Тогда решение (203) теряет смысл. Пусть и - собственная функция, соответствующая . Известно, что уравнение (201) (а следовательно, и задача (200)) разрешимо в том и только том случае, когда . Перепишем это условие в виде

Поскольку, в силу условия Т, , получаем необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (200): . При выполнении этого условия решение задачи (200) представляется, очевидно, в форме

,

где знак у суммы означает, что из нее изъят член с , а - неопределенная постоянная.

2. Симметризуемые задачи. Вернемся к общему дифференциальному выражению (146)

.

Мы представили его в виде (см. (150))

,

где . Будем считать, что указанные функции по непрерывности распространяются на отрезок , причем выполняются требования: при , и рассмотрим симметризуемую задачу Штурма-Лиувилля

, ( 204 )

( 205 )

Эта задача сводится к интегральному уравнению опять с помощью теоремы Гильберта. В самом деле, запишем уравнение (204) в эквивалентной форме

. ( 206 )

Пусть - функция Грина краевой задачи. Редуцируем задачу (205), (206) к эквивалентному интегральному уравнению

. ( 207 )

На этот раз ядро интегрального уравнения (207) не симметрично. Однако простой прием сводит дело к уравнению с симметричным ядром. Домножим соотношение (207) на и обозначим . Тогда уравнение (207) перепишется в виде

,

где - симметричное ядро.