Вопрос31.

Распределение Максвелла по скоростям. Распределение Максвелла по абсолютным величинам скоростей. Наиболее вероятная скорость. Средняя и среднеквадратичная скорости. Опыт Штерна и Ламмерта.

Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной температуры Т. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла.

fм( x,y,z) =Aмe –Wк/kT

-функция распределения Максвелла по скоростям

В еличину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью

в = √2kT/m

-наиболее вероятная скорость

‹›=√8kT/m	-средняя скорость
‹кв›=√3kT/m	среднеквадратичная скорость

Вопрос 32.

Распределение Максвелла по угловым скоростям. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы.

fм(x, y, z) =Aмe –Wврк/kT

-Формула распределение Максвелла по угловым скоростям

Итак, средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы:

Таким образом, на среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i-степеней свободы, приходится

Это и есть закон Больцмана о равномерном распределении средней кинетической энергии по степеням свободы.

Если система находится в состоянии термодинамического равновесия, при температуре Т, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы. На каждую поступательную i_п и вращательную i_вр степени свободы приходится энергия 1/2 kT. Для колебательной i_кол, степени свободы она равна kT. Таким образом, число степеней свободы i = i_п + i_вр + 2i_кол

^f_м( K) =A^K _мe ^{– K /kT}√K

Вопрос 33.

1.Закон о распределении молекул идеального газа по скоростям:

Исходя из распределения молекул по скоростям:

можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии. Для этого перейдем от переменной v к переменной e=m0v2/2.

где dN(e) — число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от e до e + de.

2.Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения:

3.Средняя кинетическая энергия <e> молекулы идеального газа (наиболее вероятная):

4.Закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла – Больцмана:

Здесь n₀ – число молекул в единице объёма в той точке, где U = 0, E = U+K – полная энергия.

В последнем выражении, потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е1, Е2…, (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:

где N_i – число частиц, находящихся в состоянии с энергией E_i , а A – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию

где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда окончательное выражение распределения Максвелла – Больцмана для случая дискретных значений энергий будет иметь вид:

.