2.Барометрическая формула

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Д ля идеального газа, имеющего постоянную температуру   и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения   одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

г де   — давление газа в слое, расположенном на высоте  ,   — давление на нулевом уровне ( ),   — молярная масса газа,   — универсальная газовая постоянная,   — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул   (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где   — масса молекулы газа,   — постоянная Больцмана.

3.Распределение Больцмана

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

n = n₀exp( -mgh / kT )

где n - концентрация молекул на высоте h, n₀ - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m - масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Если высота сосуда много меньше, чем kT/mg, то зависимостью концентрации от высоты можно пренебречь. С другой стороны, в атмосфере концентрация молекул быстро уменьшается с увеличением высоты и, поэтому, величина атмосферного давления также уменьшается. Принимая во внимание, что P = nkT, мы можем записать так называемую барометрическую формулу, описывающую изменение атмосферного давления в зависимости от высоты:

P = P₀exp( -mgh / kT )

.

4 .Опыт Перрена

В опыте, проведенном в 1908 году, Перрен исследовал поведение частичек гуммигута, взвешенных в воде в гравитационном поле Земли. Гуммигут — это смола, которая не растворяется в воде, а при попадании в нее из-за сил поверхностного натяжения распадается на множество мелких шариков. Дело в том, что у кусочков различных размеров как массы  , так и коэффициенты трения  , поэтому и наблюдаемые распределения средней плотности частиц будут зависеть от их размеров. Чтобы выделить частицы примерно одинаковой массы, Перрен разгонял их на центрифуге.

Выяснилось, что как при горизонтально, так и при вертикально расположенной установке концентрация частиц экспоненциально убывает с высотой. Это, с одной стороны, подтверждало распределение Больцмана, а, с другой стороны, позволяло вычислить постоянную Больцмана   и через нее — число Авогадро  . Более того, полученные для   выражения не зависели от размеров частичек смолы, что подтверждало ее универсальный характер.

Также Перрен сравнил полученное им в опыте распределение концентрации плотности частиц смолы с известной со времен Галилея и Торричелли зависимостью давления воздуха от высоты над уровнем моря. Действительно, известно, что вблизи поверхности Земли давление убывает линейно с высотой; с другой стороны, из уравнения Больцмана и газовых законов на малых высотах   получается

где   — давление на уровне моря, а   — средняя масса молекул воздуха (находится между массами молекул азота и кислорода). Получив постоянную   из эксперимента, Перрен нашел массы молекул воздуха, которые оказались порядка  .

Фактически, Перрен получил основные величины, характеризующие микроскопические масштабы молекулярно-кинетической теории: число Авогадро, постоянную Больцмана и характерные массы молекул.