25.2. Метод изоклин
Уравнение вида y´=f(x;y) устанавливает связь между координатами точки (x;y) и угловым коэффициентом y´ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. То есть это ОДУ задает в каждой точке плоскости хОу направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку; говорят, что задано поле направлений.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Уравнение изоклины можно получить, если положить y´=c, т.е. f(x;y)=с. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых.
Пример.
Решить уравнение
Уравнения
изоклин этого ОДУ имеют вид:
,
или
,
то есть изоклинами являются прямые,
проходящие через начало координат.
Отметим что в точке (0;0) значение с не определено, т.е. это особая точка.
П
остроим
поле направлений, проведя в точках
прямых (за исключением начала координат)
отрезки, образующие с осью Ох один и тот
же угол ,
тангенс которого равен с.
В
точках прямой у=х
имеем с=-1,
т. е.
;
в
точках прямой у=-х
имеем с=1,
т.е.
;
в точках прямой х=0 имеем с=1, т.е. =0;
при
имеем
,
т. е. в точках прямой у=0
имеем
.
Линии,
касающиеся полученного поля направлений,
то есть искомые интегральные линии –
концентрические окружности с центром
в начале координат, их уравнения имеют
вид
.
Это и есть общее решение данного ОДУ.
25.3. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
или, в более общем случае,
(2)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления на произведение 1(x)2(y) уравнение (2) приводят к уравнению с разделенными переменными:
,
после чего, интегрируя обе части уравнения, получают его общее решение в виде
.
Замечание.
Деление на
может привести к потере решений,
обращающих это произведение в ноль.
Поэтому следует отдельно решить уравнение
и установить те решения ОДУ (2), которые
не получаются из общего решения ни при
каком значении С
(особые
решения).
Пример 1. Решить уравнение: (x+1)sinydy+3cosydx=0
Перенесем слагаемое, содержащее dx, в правую часть уравнения:
(x+1)sinydy = -3cosydx.
Разделим обе части уравнения на (x+1)cosy:
.
Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем
.
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства:
или
,
откуда, снимая модуль, получаем:
.
Обозначая
,
получаем общее решение данного уравнения
в виде
.
Проверим теперь, не были ли потеряны решения при делении на произведение (x+1)cosy.
Уравнение cosy=0 имеет решения у=/2+k (k=0, 1, 2,…). Подстановкой в исходное дифференциальное уравнение убеждаемся, что у=/2+k являются решениями этого уравнения (напомним, что если у=const, то dy=0). Но эти решения формально могут быть получены из найденного общего при С=0, то есть являются частными решениями данного уравнения.
Уравнение х+1=0 имеет решение х=-1, которое также является решением исходного дифференциального уравнения (если х=const, то dх=0). Это решение не может быть получено из общего.
Итак, окончательный ответ: ; х=-1.
Пример 2.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее
начальному условию
.
Имеем:
.
Разделяем переменные:
.
Заметим,
что, хотя при разделении переменных
могли быть потеряны какие-то решения
дифференциального уравнения, нужного
нам решения среди них нет, т.к.
и
.
Интегрируя полученное уравнение с разделенными переменными, находим общее решение:
,
или, взяв экспоненту,
,
или
.
Положим
теперь
,
тогда
,
откуда С=1.
Таким
образом, искомое решение задачи Коши:
.
Замечание.
Уравнение вида
приводится
к уравнению с разделяющимися переменными
при помощи замены искомой функции
z=ax+by+c.
Пример 3.
Умножив
обе части уравнения на dx,
получим уравнение
Положим
или
,
откуда
.
Тогда уравнение принимает вид
.
Разделяем переменные:
;
.
Интегрируя, получаем:
,
или
.
Множитель (4-z2) обращается в ноль при z=2.
z=-2 является решением исходного уравнения, оно может быть получено из общего решения при С=0.
z=2 является решением исходного уравнения, оно не может быть получено из общего решения.
Возвращая старую функцию, получаем общее решение исходного уравнения:
,
а также «потерянное» решение у=1+4х.