Полигон и гистограмма

Наблюдаемые данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически с помощью полигона и гистограммы. Это позволяет получить наглядное представление о закономерности варьирования наблюдаемых значений с.в. X.

Определение 11. Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами ; ; …; (с координатами ; ; … ; ).

Определение 12. Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длиной , а высоты равны частотам (относительным частотам) соответствующих интервалов.

Точечные оценки параметров распределения

Будем считать, что измеряемая с. в. имеет неизвестные параметры, которые нам нужно оценить. Например, мы можем знать, что с.в. XN(a, ²), но параметры a и σ нам неизвестны.

Для того чтобы интуитивно понять смысл дальнейших вычислений, вернемся к набору чисел , который является реализацией выборки на одном элементарном исходе. Ввиду предположений о том, как проводятся наши измерения, можем сделать вывод, что числа появляются равновероятно. Таким образом, можно записать следующий закон распределения:

	x1	x2	...	xn
	1/n	1/n	...	1/n

Заметим, что если мы позволим элементарному исходу меняться, то все перечисленные ниже характеристики станут величинами случайными, поскольку каждая из них будет функцией от n случайных величин X₁, X₂, …, X_n.

Определение 13. Выборочным средним (средним арифметическим) наблюдаемых значений с. в. называется число, определяемое формулой:

Если наблюдаемые данные представлены в виде вариационного ряда, где - варианты значений с.в. , а - соответствующие им частоты, то выборочное среднее вычисляется по формуле

Определение 14. Выборочной дисперсией значений с.в. называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их выборочного среднего:

Аналогично для вариационного ряда выборочная дисперсия определяется формулой:

Интуиция нам подсказывает, что числа и должны быть приближениями математического ожидания и дисперсии с.в. . Оказывается, что первая формула ─ это хорошее приближение математического ожидания с.в. , а вторая формула ─ не очень хорошее приближение дисперсии с.в. . Поэтому вводится следующая исправленная дисперсия:

Данное выражение будет давать хорошее приближение дисперсии с.в. .

Определение 15. Выборочным средним квадратическим отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии:

Определение 16. Пусть закон распределения с.в. содержит неизвестный параметр θ. Оценкой параметра θ называется некоторая функция от с.в. .

Определение 17. Оценка называется несмещенной, если .

Определение 18. Оценка называется состоятельной, если для всякого выполняется .

В теории вероятностей в этом случае говорят, что (по вероятности).

Определение 19. Оценка называется эффективной, если для любой другой оценки параметра θ выполняется соотношение .

Несмещенность оценки означает, что прибор, которым мы производили измерения, либо способ измерения не содержит системной ошибки. В среднем мы получаем измеряемый параметр θ. Состоятельность ошибки говорит о том, что при увеличении числа измерений наша оценка приближается к измеряемому параметру θ. А эффективность означает, что данная оценка имеет наименьший разброс значений.

Теорема. Пусть с.в. XN(a, ²) обладает конечной дисперсией: . Оценка , где – выборочное среднее, является несмещенной и состоятельной оценкой параметра =a.

Теорема. Справедливы следующие утверждения:

1) Оценка параметра =², где , является несмещенной оценкой.

2) Если существует математическое ожидание от то данная оценка состоятельна.