Проверка статистических гипотез
Одним из часто встречающихся применений статистических методов на практике является решение вопроса о том, должно ли быть принято или отвергнуто предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины) на основании данной выборки. Например, новое правило поступления в вуз испытано на определенном числе абитуриентов. Логично выяснить, можно ли сделать обоснованный вывод о его эффективности по сравнению с предыдущим правилом поступления по данным результатам?
Определение 22. Статистической гипотезой называется любое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке (по результатам наблюдений).
Определение 23. Проверкой гипотезы называется процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными.
Статистические гипотезы делятся на параметрические (гипотезы о параметрах распределения известного вида) и непараметрические (о виде неизвестного распределения).
Основываясь
на выборочных данных и учитывая условия
конкретной задачи, выдвигают гипотезу
в качестве основной (нулевой),
а другую гипотезу
,
являющуюся ее логическим отрицанием,
– в качестве конкурирующей (альтернативной).
Например, если нулевая гипотеза состоит
в том, что математическое ожидание равно
10 (
),
то в качестве альтернативной можно
рассматривать одну из следующих гипотез:
.
Имея две гипотезы и , надо на основе выборки принять либо нулевую гипотезу , либо альтернативную гипотезу . Правило, согласно которому принимается или отклоняется гипотеза , называется критерием проверки гипотезы .
При
проверке гипотезы может быть принято
неправильное решение, то есть, допущены
ошибки 1-го и 2-го рода. Ошибка 1-го рода
состоит в том, что отвергается нулевая
гипотеза
,
когда на самом деле она верна. Вероятность
ошибки 1-го рода называется уровнем
значимости критерия и обозначается
через
.
Ошибка 2-го рода состоит в том, что
принимается нулевая гипотеза
,
когда на самом деле верна гипотеза
.
Вероятность ошибки 2-го рода обозначается
через
.
Величина
называется мощностью критерия. Обобщим
сказанное в виде таблицы.
Гипотеза |
Отвергается |
Принимается |
верна |
Ошибка 1-го рода, ее вероятность равна |
Правильное решение,
его
вероятность равна
|
неверна |
Правильное решение, его вероятность равна |
Ошибка 2-го рода, ее вероятность равна |
Схема проверки гипотез сводится к следующему:
Этап 1. Располагая выборкой , формулируют нулевую гипотезу и альтернативную .
Этап
2. В каждом
конкретном случае подбирают статистику
критерия
(функцию выборки, формирующуюся на
основании результатов выборки
),
обычно из перечисленных ниже: U
– нормальное распределение,
-
распределение Пирсона, t
– распределение Стьюдента, F
– распределение Фишера – Снедекора.
Этап
3. По
статистике критерия
и заданному уровню значимости
определяют критическую область S
(и
).
Для ее отыскания достаточно найти
критическую точку
,
то есть границу, отделяющую область S
от
.
Границы областей определяются из
соотношений:
для правосторонней критической области:
.для левосторонней критической области:
.для двусторонней критической области:
.
Для каждой области по соответствующим таблицам находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным соотношениям.
Этап
4. Для
полученной реализации выборки
вычисляют значение критерия
.
Этап
5. Если
,
то нулевую гипотезу
отвергают и принимают альтернативную
;
если же
,
то нулевую гипотезу
принимают.