Геометрическая вероятность

Рассмотрим теперь более подробно вероятностное пространство , на следующем примере.

Пример. Пусть – квадрат на плоскости , F – -алгебра борелевских подмножеств этого квадрата (то есть наименьшая -алгебра, содержащая все прямоугольники, входящие в квадрат), а для .

Лучше всего с этим пространством связывать эксперимент стрельбы в квадрат  (считается, что в этот квадрат стрелок попадает при любых условиях). Любое подмножество мы в этом случае интерпретируем как событие, состоящее в том, что стрелок попал в A. Смысл рассматриваемой вероятности P (или, как часто говорят, геометрической вероятности) хорошо согласуется с интуицией: чем больше площадь подмножества A, тем больше вероятность наступления события A.

Используя данное вероятностное пространство, можно достаточно легко получать геометрические обоснования многих фактов, доказанных нами ранее аналитически. Например, свойство 1 вероятности геометрически очевидно: площадь дополнительного к A множества равна площади квадрата  минус площадь самого множества A. Свойство 2 вероятности также становится прозрачным: так как это заштрихованная площадь на первом рисунке (см. пункт "Действия над событиями. Алгебра событий"), а в выражение два раза входит площадь множества , то ее нужно один раз отнять, и в результате получается формула . Точно так же легко интерпретируется свойство 3 вероятности, так как фраза "из события A следует событие B" геометрически означает, что множество A содержится во множестве B.

Проинтерпретируем теперь понятие независимости событий. Пусть события A и B таковы, какими они показаны на следующем рисунке:

Здесь множество A представляет собой прямоугольник с шириной, равной 1, и высотой, равной a. Множество B представляет собой прямоугольник с шириной b и высотой, равной 1. Множество – это пересечение прямоугольников A и B и также является прямоугольником. Заметим, что стороны всех прямоугольников параллельны соответствующим сторонам квадрата . Из геометрических соображений следует, что . Поэтому выполняется условие независимости событий , то есть события A и B независимы. Оказывается, события такой конфигурации, как A и B, дают самые характерные примеры независимых событий. Подобная процедура построения независимых событий может быть существенно обобщена. Эти обобщения сплошь и рядом используются в теории вероятностей.

Схема Бернулли

Предположим, что мы производим некоторое испытание с двумя исходами (например, бросание монеты, когда исходами являются орел или решка, или вытягивание лотерейного билета, когда в результате испытания билет оказывается выигрышным либо проигрышным). Один исход данного испытания (имеющий вероятность p) будем считать успехом и обозначать единицей. Второй исход (имеющий вероятность ) будем считать неудачей и обозначать нулем. Таким образом, совокупность исходов данного испытания мы отождествили с двуточечным множеством .

Повторим теперь это испытание независимым образом n раз. Результатом этого n-кратного эксперимента будут последовательности вида , где каждое число ( ) равно нулю либо единице. Например, если и мы получили последовательность , то это означает, что при первом и четвертом испытаниях нас постигла неудача, а второе и третье испытания были успешными. Ясно, что в качестве пространства элементарных событий следует взять множество , состоящее из всевозможных цепочек вида , где каждое число ( ) равно нулю либо единице. В качестве -алгебры F выберем совокупность всех подмножеств множества .

Остановимся более подробно на определении вероятности P. Обозначим через (соответственно ) событие, состоящее в том, что при k-м испытании нас постигает неудача (соотв., при k-м испытании мы имеем успех). Очевидно, . Так как при разных k испытания производятся независимым образом, то математически это должно означать, что любая система событий должна быть независимой в совокупности. То есть вероятность события должна определяться формулой:

.

Но легко видеть, что событие совпадает с элементарным событием , поэтому вероятность каждого элементарного события должна определяться той же формулой:

.

Таким образом, мы построили конечное вероятностное пространство (бернуллиевское вероятностное пространство), моделирующее описанный выше n-кратный эксперимент.

Событие состоит в том, что в n испытаниях в схеме Бернулли наступило ровно m успехов.

Теорема . Справедлива формула:

,

где – число сочетаний из n элементов по m .