Теория вероятностей Относительная частота и классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события, то есть события, которое (при некоторых обстоятельствах) может совершиться, а может и не совершиться.

Предположим, что мы совершаем серию одинаковых испытаний (например, многократно бросаем монету). Зафиксируем некоторое событие A, которое может реализовываться в результате каждого из этих испытаний (например, A – событие, состоящее в выпадении орла). Пусть – количество произведенных испытаний, а – число реализаций события A. Относительной частотой появления события A будем называть отношение . Если мы совершим еще одну серию таких же испытаний, причем новое будет приблизительно таким же, как и прежнее, то новая относительная частота может существенно отличаться от старой. Однако в результате многочисленных экспериментов было сделано заключение, что существует число p, такое, что относительные частоты появления события A при большом числе повторяющихся испытаний лишь незначительно отличаются от этого числа p. Данный эмпирический факт символически записывается следующим образом:

при .

Число p называется вероятностью реализации события A, что символически записывается в виде: .

Вероятность p есть объективная характеристика возможности реализации события A в данном испытании. При большом числе испытаний относительная частота мало отличается от вероятности p (исключения могут составлять весьма редкие серии испытаний, которыми можно пренебречь). Например, при многократном бросании монеты мы в большинстве случаев получим относительную частоту выпадения орла, мало отличающуюся от .

Соотношение при .обычно формулируют следующим образом: когда число повторяющихся испытаний бесконечно растет, относительная частота события A стремится к вероятности p реализации события A. Пусть теперь мы находимся в рамках некоторого испытания. Придавая каждому событию A, связанному с данным испытанием, некоторую вероятность , мы тем самым создаем математическую модель, описывающую данное испытание.

Определение 1. Классическим вероятностным пространством называется тройка , где – некоторое множество, состоящее из конечного числа элементов; F – совокупность всех подмножеств множества (включая само и пустое множество ); P – функция, определенная на F следующим образом: если подмножество состоит из m элементов, то . При этом элементы называются элементарными событиями, множество – пространством элементарных событий, множество A – событием, событие – достоверным событием, событие – невозможным событием, совокупность событий F – алгеброй событий, функция P – вероятностью.

Условимся число элементарных событий, из которых состоит событие A (и которые по этой причине называются благоприятствующими событию A), обозначать через |A|. Из определения 1 получаем: , , , , где k=1,2,...,n.

Действия над событиями. Алгебра событий

Итак, пусть – произвольное множество (произвольное пространство элементарных событий), а F – какая-то совокупность подмножеств (событий) на . Для определенности мы будем изображать квадратом, а события из F – кругами в этом квадрате. Пусть A и B – события из F.

Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее из элементарных событий, благоприятствующих по крайней мере одному из событий A или B. Это означает, что событие A+B совершается тогда и только тогда, когда совершается хотя бы одно из событий A или B. Геометрически сумме событий соответствует операция объединения множеств.

Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее из элементарных событий, благоприятствующих одновременно и событию A, и событию B. Это означает, что событие AB совершается тогда и только тогда, когда совершаются оба события A и B. Геометрически произведению событий соответствует операция пересечения множеств.

Противоположным событию A называется событие , состоящее из элементарных событий, не благоприятствующих событию A. Это означает, что событие совершается тогда и только тогда, когда не совершается событие A. Геометрически противоположному событию соответствует операция дополнения множества.

Операции над событиями подчиняются точно тем же законам, что и операции над множествами. Например, справедливы соотношения:

.

Читателю рекомендуется доказать эти соотношения.

Определение 2. Совокупность F подмножеств множества называется алгеброй событий, если и если для любых и .