2. Кинематика криволинейного движения. Тангенциальное и нормальное ускорение.

При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была  , а в т.М₁ стала  . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути   из М в М1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости  , необходимо определить векторную разность:

Для этого перенесем   параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы   равна стороне АС  МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор   на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через   и  . Таким образом вектор изменения скорости   равен векторной сумме двух векторов:

По определению:

Тангенциальное ускорение   характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно

Нормальное ускорение   характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом   участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R. Треугольники МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

или

Н о  , тогда:

Переходя к пределу при   и учитывая, что при этом  , находим:

 ,

Так как при   угол  , направление этого ускорения совпадает с направлением нормали к скорости  , т.е. вектор ускорения   перпендикулярен  . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального ускорений (1.15). Так как векторы этих ускорений взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения равен:

Направление полного ускорения определяется углом между векторам   и  :

2. Кинематика вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями

Поворот тела на некоторый угол φ можно описать с помощью вектора, длина которого равна φ, а направление совпадает с осью вращения и определяется по правилу правого винта (буравчика, правой руки):

Четыре пальца правой руки – по направлению вращения, согнутый большой палец укажет направление вектора  .

Направление вектора поворота φ, связывается с направлением вращения правилом правой руки. Такие векторы называют аксиальными (осевыми) или псевдовекторами, чтобы подчеркнуть их отличие от обычных (иногда называемых полевыми) векторов. Угловой скоростью называют вектор   который численно равен первой производной от угла поворота   по времени t и направлен вдоль неподвижной оси по правилу правой руки.

 

 

Угловая скорость  , как и  является аксиальным вектором. Аксиальные векторы не имеют определённых точек приложения, они могут откладываться из любой точки оси вращения. Часто их откладывают от неподвижной точки оси вращения, принимаемой одновременно за начало координат системы отчёта. Вращение тела называют равномерным, если  .

 

Скорость   точки в отличие от угловой скорости  , тела называют линейной скоростью. Она направлена перпендикулярно как к оси вращения (т.е. к вектору  ), так и радиус - вектору  R, проведённому в точку Р из центра окружности О и равна их векторному произведению:

Р авномерное вращение можно  характеризировать периодом вращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол  . Тогда   - связь угловой скорости с периодом обращения.

Ч астота вращения - число оборотов в единицу времени        ;    .

В случае переменного вращательного движения угловая скорость          материальной точки не изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения вектора угловой скорости    при неравномерном вращении вокруг неподвижной оси вводится вектор    углового ускорения тела, равный первой производной от его угловой скорости    по времен и.

Вектор   так же является аксиальным (или псевдовектором). Векторы   и   сонаправлены при ускоренном вращении ( ) и            противоположно направлены при замедленном вращении.

 ( )

Ускорение   произвольной точки Р тела в отличие от углового ускорения   тела называет линейным ускорением.

 

Для равноускоренного вращательного движения можно записать: