Основные правила дифференцирования (±, (uv)’, (u/V)’)

Пусть функции   и   имеют производные в точке  . Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

Пример

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример

3. Производная произведения.

Пример

4. Производная частного.

Пример

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу  , умноженной на производную от промежуточного аргумента   по основному аргументу  .

 и   имеют производные соответственно в точках   и   . Тогда

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.  Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

Производные основных элементарных функций ( y=x²; y=x³; y=sinx; y=cosx; y=tgx; y=ctgx; y=e^x; y=lnx; y=1/x; y=√x - вывод). Таблица производных

Производные простых функций

• 

• 

• 

Вывод  

•         когда   и   определены, 

Вывод  

• 

Вывод

• 

• 

• 

• 

Таблица производных

Дифференциал функции y=f(x). Геометрический смысл. Свойства дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке x существует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

                            (1)

является бесконечно малой величиной при  . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

                    (2)

(величина   не зависит от  , т. е. остаётся постоянной при  ).

Если  , то в правой части равенства (2) первое слагаемое  линейно относительно  . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и  . Второе слагаемое  - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение   стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно  частью приращения функции; чем меньше  , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях  (и при  ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью  , т.е.

                (3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

                   (4)

или

             (5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

                      (6) или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину  .