2. Адаптация к корреляции по времени

Ошибки в моделях, построенных по выполненным в разное время наблюдениям, часто коррелируют друг с другом.

Запишем MR – модель, заменяя индекс на , в виде , (7)

где - момент времени .

Самое простое предположение о виде зависимости между состоит в том, что случайная последовательность образует авторегрессионный процесс первого порядка

, (8)

где - последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией ; - это коэффициент корреляции между двумя соседними ошибками, а

, (9)

где для всех .

Тогда матрица ковариаций для запишется в виде

. (10)

Рассмотрим теперь, как оценить параметры модели (7) при неизвестном заранее (случай, когда значение известно, встречается редко).

Наиболее популярным считается алгоритм Кохрейна–Оркатта, содержащий этапы:

1. Система (7) решается обычным МНК; фиксируется вектор остатков .

2. МНК – оценка в регрессии принимается за приближенное значение .

3. Выполняется преобразование

(11)

при и определяется МНК – оценка .

4. Фиксируется новый вектор .

5. Итерация повторяется с п. 2.

Рассмотрим несколько подробней критерий Дарбина – Уотсона (DW), введенный ранее для обнаружения корреляции во времени первого порядка. Значение DW можно оценить по формуле

. (12)

По ней видно, что если между и есть высокая положительная корреляция, то ; отсутствие корреляции ( ) означает, что . При высокой отрицательной корреляции . Авторы теста кроме того ввели верхнюю и нижнюю границы теста и зоны неопределенности.

2. Адаптация к нарушению условия <2.1>

Для модели условие <2.1> является комплексным. Предполагается, что – модель линейна по вектору ; с другой стороны, по умолчанию принимается, что в модели нет «лишних» слагаемых и в тоже время не пропущены важные факторы.

1. Введение качественных («фиктивных») переменных

Предположим, что нарушается последнее предположение, т.е. пропущены один или несколько значимых переменных-регрессоров. Однако эти переменные имеют качественный характер, принимая два или более дискретных значения. Например, при изучении зависимости зарплаты работника от ряда факторов естественно ввести переменную «высшее образование», где может принимать значение «0» или «1». Такие переменные в отечественной литературе получили название: «фиктивные» переменные.

Рассмотрим, как эти переменные ввести в – модель.

Пусть в модель вводится пропущенный фактор , отражающий тот факт, что два типа образования (0,1) дают различные значения отклика в дополнение к тем изменениям, которые порождены другими факторами. Решение задачи возможно двумя способами. Первый состоит в том, чтобы включить в модель фиктивную переменную и коэффициент регрессии

; . (13)

Коэффициент можно оценить одновременно с - коэффициентами. Фактору можно приписать следующие значения: , если работник не имеет высшего образования, и - в противном случае.

Иногда удобнее другие обозначения.

Пусть имеется наблюдений (работников). Из них не имеет высшего образования, а - имеет. Если применять формулы для вычисления значений

при отсутствии ВО,

при наличии ВО,

то соответствующий столбец матрицы будет ортогональным к столбцу « ».

Принимая модель (13), мы считаем, что средняя зарплата есть при отсутствии высшего образования и - при его наличии, т.е. величина рассматривается как среднее изменение зарплаты при переходе из одного статуса в другой.

Если качественный признак имеет число значений, большее двух, то обычно вместо придания переменной нескольких значений переходят к двум и более фиктивным переменным, принимающим бинарные значения.