Глава 2

Системы линейных уравнений

2.1 Основные понятия

Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,

(2.1)

a_m1x₁ +a_m2x₂ +...+a_mnx_n = b_m.

Здесь через x1, x2, ..., x_n обозначены неизвестные числа. Величины a_ij и bi пред­полагаются известными; при этом a_ij называют коэффициент,ами, abi — свободными членами или правыми частями.

В случае, когда m = n, систему называют квадратной, а когда m = n, — прямо­угольной.

Реиаением системы (2.1) называют такую совокупность n чисел α1, α2, ..., α_n, которая ири подстановке их в систему вместо x1, x2, ..., x_n превращает все уравнения в тождества.

Пример 18. Непосредственной подстановкой проверяется, что решением системы

x1 + x2 = 3,

x ₁ + 2x2 = 5

являются числа x ₁ = 1 и x2 = 2.

Если bi = 0 при всех i = 1, 2,..., m, то систему называют однородной. Если хотя бы один bi отличен от нуля, то систему называют неоднородной. Однородная система всегда имеет нулевое решение.

'a _{1 1}x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,

a21x1 + a_{2 2}x2 + . . . + a2nx_n = 0, an1x1 + a_n2x2 + . . . + a_nnx_n = 0.

Если система имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Если же у системы нет решений, то — несовместной.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

16

Пример 19. Система

x1 +x2 = 3,

x ₁ + x2 = 5

несовместна, так как x1 + x2 не может одновременно равняться 3 и 5.

Если система имеет единственное решение, то ее называют определенной. Если у системы более одного решения, то — неопределенной. Нетрудно убедиться, что система из примера 18 имеет единственное решение, т. е. является определенной.

Пример 20. Система

x ₁+ x2 = 3,

2x1 + 2x2 = 6

является неонределенной. Прямой подстановкой моясно убедиться, что ее решениями являются (1,2), (2,1), (3,0), ....

Матрицу

' a11 a12 . . . a1n \

a21 a₂₂ . . . a2_n A =

am1 am2 . . . a_mn

называют матрицей (коэффициентов) системы. А

a11 a21

D=

a12 a22

am1 am2

a1n a2n

b
b 2
bm

— расширенной матрицей системы.

Пример 21. Пусть для изготовления одного стула требуется 4 единицы древесины и 1 единица материи, а для изготовления одного кресла требуется 6 единиц древесины и 5 единиц материи. Па складе имеется 106 единиц древесины и 51 единица мате­рии. Какое количество x стульев и y кресел следует изготовить, чтобы полностью израсходовать материалы? Эта задача сводится к решению системы

4x + 6y =106, x + 5y = 51.

2.2 Метод Крамера

Рассмотрим квадратную систему из n уравнений с n неизвестными

'a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, a21x1 + a _{2 2} x2 + . . . + a2nxn = b2,

(2.2)

, an1x1 + an2x2 + . . . + a_nnxn = bn.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

17

Теорема 3. Для того чтобы квадратная система была определенной, т. е. имела единственное ретпенне, необходимо и достаточно, чтобы ∆ = \А\ у/^ 0. Если ∆ = |A| = 0, то ее едннственное ретпенне моукно вычислить но формул|

(2.3)

x_j= ∆

j = 1,2,...,n,

где ∆j — определитель, получаемый из ∆ заменой j-го столбца на столбец свободных членов.

Задача 3. Решить методом Крамера систему

2x + 3y = 9, 3 x - y = 8.

Решение. Для рассматриваемой системы

	∆	=	2 3 3 - 1	=	-11,
9 8	3 - 1	=	-33,	∆2		2 9 3 8

1.

3, y

Отсюда x

∆ -11 ∆ -11

Задача 4. Решить систему методом Крамера

= 11.

x + y + z = 2,

2x + y + 4z = 5,

x + y + 3z = 6.

∆

1	1	1
2	1	4
1	1	3

= 2,

6,

3, z

3, y

Решение. Имеем

∆ =

∆2 =

∆i

∆

Отсюда x

1	1	1
2	1	4
1	1	3

1	2	1
2	5	4
1	6	3

∆2

∆

∆з

∆

2.

∆i =

∆

2	1	1
5	1	4
6	1	3

1	1	2
2	1	5
1	1	6

= 6,

4.

Задача 5. При каких значениях λ система уравнений

не является онределеннои .^

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

18

Решение. В силу теоремы 3 система ие является оиределеииой, если \A\ = 0. Вы­числяем:

2 - λ.

\A\

1 λ

1 2

Из уравнения 2 — λ = 0, находим λ = 2. Значит, при λ = 2 система не является определенной. П

2.3 Матричная запись

системы линейных уравнений

Запишем неизвестные и свободные члены в виде столбцов (матриц, размера n х 1 и m X 1, соответственно):

b2 b_m

a1n a2n

x1

x2 xn

a11 a12 a21 a22

A

B

X

n

am1 am2 . . .

Теорема 4. Система (2.1) эквивалентна равенству

A-X = B,

называемому матричной формой записи системы линейных уравнений. Доказательство. Вычисляем:

AX

a11 a12 a21 a22

a1n a2n

x₁ x₂

x_n

am1 am2 . . .

a ₁1x ₁ + a12x2 + ... + a_{1 n}x_n \ b1

b2

n

b_m

a21x ₁ + a22x2 + . . . + a2nx_n a_{m 1}x1 + a_m2x2 + . . . + a_mnx_n

Таким образом, приходим к равенству

B.

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n

b₁ b₂

am1x ₁ + a_m2x2 + . . . + a_mnx_n b_m

В силу определения равенства матриц это равенство равносильно совпадению соот­ ветствующих элементов, что и представляет собой систему (2.1). П

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

19