2.10 Понятие о модели Леонтьева

Рассмотрим замкнутую экономику, состоящую из п отраслей. Продукция каясдой из отраслей расходуется на потребности производства ее самой и других отраслей, а такясе идет на конечное потребление. Необходимо сбалансировать производство так, чтобы производилось ровно столько, сколько нужно.

Введем обозначения:

Х_i — общий (валовый) объем нродуктщи г-ой отрасли,

yj — необходимый объем конечного (для непроизводственного потребления) про­дукции j-ой отрасли,

aij — затраты продукции j-ой отрасли на производство единицы продукции г-ой отрасли.

Имеем следующую систему межотраслевого баланса:

x₁ = a₁₁x₁ +a₁₂x₂ +. x₂ = a₂₁x₁ +a₂₂x₂ +.

a_1nx_n +y₁, a_2nx_n +y₂,

x_n = a_n1x₁ +a_n2x₂ +...+a_nnx_n +y_n.

Глава 3

Векторы в трехмерном пространстве

3.1 Основные понятия

Вектором называют направленный отрезок -A →B с началом в точке A, называемой хвостом и концом в точке B, называемой головой. Вектор принято также обозначать строчной латинской буквой ¯ a с чертой вверху.

Нулевым называют вектор, хвост п голова которого совпадают. Понятие направ­ления для нулевого вектора теряет смысл. Нулевой вектор принято обозначать сим­волом ¯0. Таким образом, -A →A = ¯0.

Длину отрезка |AB| называют длиной вектора ¯ a = AB и обозначают |a ¯| или |AB|. Очевидно, нулевой вектор имеет нулевую длину.

Единичным называют вектор, длина которого равна 1. Обычно единичный вектор обозначают символом e ¯. Таким образом, |e ¯| = 1.

Векторы, леясащие па параллельных прямых (или па одной и той ясе прямой), называют коллинеарными.

Два вектора a ¯ и ¯ b считают равными^ если они коллинеарны, направлены в одну сторону и их длины совпадают. Иными словами, два вектора a ¯ и ¯ b равны, если один моясно переместить в другой с помощью параллельного переноса. Таким образом, вектор мож;но передвигать параллельно самому себе. Когда это обстоятельство хотят подчеркнуть, такие векторы называют свободными.

Вектор ¯ b называют произведение числа λ на вектор a ¯ и обозначают символом λ · a ¯ или λ¯ a, если:

1. вектор ¯ b коллипеарен вектору ¯ a,

1. |¯ b| = |λ||¯ a|,

2. направ·ния векторов a ¯ и ¯ b совпадают, если λ > 0, и противополож;ны, если λ<0.

Если λ = 0, то уясе из условия 2) следует, что ¯ b = ¯0.

В качестве определения суммы векторов можно взять любое из двух эквивалент­ных правил: а) треугольника (см. левый рис. 1); б) параллелограмма (см. правый рис. 1).

Для сложения большого числа векторов мож;но пользоваться правилом замкну­той цепочки векторов (см. рис. 2).

Вычитанием называют действие, обратное к сложению.

Легко видеть, что a ¯ -¯ b = ¯ a + (-1) Ъ. Поэтому разность ¯ a-¯ b мож;но представить в виде суммы a ¯ + (-1) · ¯ b вектора a ¯ и ·ектора ¯ b, умнож;енного на число (-1).

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

30

c=a+b

^

Рис. 1: Слева: правило треугольника. Справа: правило параллелограмма.

a+Ь+с

Рис. 2: Правило замкнутой цепочки векторов.

3.2 Числовая проекция вектора

Рассмотрим в иростраистве точку A и прямую L. Проведем через точку A плос­кость α, ортогональную прямой L. Точку Ai пересечения α и L называют проекцией точки A на прямую L.

Рассмотрим в пространстве произвольный вектор ¯ a = -A →B. Пусть точки Ai и

Bi являются проекциями точек A и. B, соответственно. В этом случае вектор AiBi ---→ают (векторной) проекцией вектора -A →B на прямую L и обозначают символом пр^^а.

Зададим на прямой L направление (и масштаб). Прямую с направлением назы­вают осью.

Числовой проекцией вектора ¯ a = -A →B называют число пр_L a ¯ = пр_L -A →B , равное

длине проекции |AiBi|, если направления L и AiBi совпадают, и равное -|AiBi|, ес­ли их паправлепия противополоясны. Очевидно, равные векторы имеют одинаковые числовые проекции.

Теорема 10. Числовые проекции обладают следующими свойствами:

1. пр_L (¯ a + ¯ b) = пр_L a ¯ + hPl ¯ b;

2. пр_L(λa ¯) = λnp_L ¯ a.