- •1 Матрицы и определители 3
- •Основные понятия 29
- •Основные понятия 36
- •Глава 1
- •1.1 Матрицы
- •1.2 Операции над матрицами
- •1.3 Определители второго порядка
- •1.4 Определители третьего порядка
- •1.5 Свойства определителей
- •1.6 Символ суммирования
- •1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя
- •1.10 Ранг матрицы
- •1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга
- •Глава 2
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Метод Крамера
- •2.4 Метод обратной матрицы
- •2.5 Матричные уравнения
- •2.6 Метод Гаусса
- •2.7 Несовместная система
- •2.8 Неопределенная система
- •2.9 Система линейных однородных уравнений
- •2.10 Понятие о модели Леонтьева
- •Глава 3
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Числовая проекция вектора
- •3.3 Декартова система координат
- •3.4 Скалярное произведение
- •Глава 4
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Линейная независимость
- •4.3 Размерность и базис
- •4.5 Ортогональные векторы
- •Глава 5
- •5.1 Понятие линейного оператора
- •5.2 Матрица линейного оператора
- •5.3 Собственные значения и собственные векторы
- •Глава 6
- •6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица
- •6.2 Канонический вид и закон инерции
- •Глава 7
- •7.1 Уравнение линии на плоскости
- •7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •7.3 Общее уравнение прямой
- •7.4 Уравнение прямой,
- •7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение
- •7.7 Выделение полного квадрата
- •7.8 Эллипс
- •7.9 Гипербола
- •7.10 Парабола
- •7.11 Уравнение плоскости
- •7.12 Уравнение прямой
7.12 Уравнение прямой
Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей, т. е. как множество решений системы уравнений
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Эти две плоскости определены неоднозначно. Разумно выбирать их возмож;но более простыми. Считается, что самый простой вид — это
|
|
|
l |
m |
n |
(7.4)
n
Здесь два уравнения. Например, уравнение
x-x1 = y-y 1 l m
задает плоскость, параллельную оси Z.
Уравнения (7.4) называют каноническими уравнениями прямой.
Очевидно, точка (x1,y 1,z 1) леж;ит на прямой. Вектор q = (l,m,n) параллелен прямой. Его называют направляющим вектором прямой.
Задача 39. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (5,7,-3) параллельно вектору (4, -6, 8).
Решение. Уравнение (7.4) является решением задачи: составить уравнение прямой, проходящей через точку (x1,y1,z 1) параллельно вектору (l,m,n). Остается подставить наши данные:
x - 5 y - 7 z + 3
4 -6 = 8
Углы между плоскостями и прямыми — это по определению углы меж;ду их нормальными и направляющими векторами. Их находят с помощью теоремы 17. В частности, имеем условие параллельности
11 m 1 n 1
12 m2 n2
и условие перпендикулярности
l 1 · l2 + m 1 · m2 + n 1 · n2 = 0
двух прямых.