1.2 Операции над матрицами

Транспонированной по отношению к матрице A называют матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Обозначение: A'.

August 31, 2013 Курбатов В.Г. Пример 1. Если

A=(1 - 4 -1 )' ™ A' =

Суммой (разностью) двух матриц A = {а_ij} и B = {6_ij} называют матрицу С = {cij}, состоящую из элементов c_ij = а_ij + 6_ij (c_ij = а_ij - 6_ij). Обозначение: С = A + B (или С = A - B). Можно складывать только матрицы одинакового размера.

/1 -2 3\ /3 2 4\

Пример 2. Пусть A =( 0 4 1иB=Г -2 1 1. Тогда

A+B =

1+3 -2+2 3+4 = 4 0 7 0+1 4-2 1+1 1 2 2

Произведением числа Л и матрицы A = {а_ij} называют матрицу С = {c_ij}, со­стоящую из элементов c_ij = Ла^_j. Обозначение: С = ХA.

/1 2 3\ /3 6 9

Пример 3. Пусть Л = 3иA=( |. Тогда 3A= i

Произведением, млтрицы A = {а_ij} размера m × гг на матрицу B = {6_ij} размера п × к называют матрицу С = {c_ij} размера m × к, элементами которой являются всевозможные произведения строк матрицы A на столбцы матрицы B. Обозначение: С = A · B или С = AB. Это определение не является полным.

Пример 4. Пусть A= i |иB=-1 0|. Тогда

1 · 1-2·(-1) + 3·2 1·1-2·0 + 3·3 9 10

AB 0·1 + 4·(-1) + 1·2 0·1 + 4·0 + 1·3 -2 3

Таким образом, элемент c_ij, стоящий на пересечении г-ой строки и j-ro столбца, равен произведению г-й строки матрицы A и j-ro столбца матрицы B^'. Поэтому умнож;ить A иа B можно только в том случае, когда длина строк матрицы A сов­падает с высотой столбцов матрицы B, т. е. "внутренние" размеры п в выраж;ениях m × п и п к должны оказаться равными. А размером произведения AB будет вы-раж;ение × к, равное произведению "внешних размеров" в выраж;ениях m × п я п × к.

Пример 5. Пусть B = \ -1 0 \ я A = 4 . Тогда

11 10 23

1 ·3 + 1· 1 BA=|-1·1 + 0 -1·(-2) + 0·4 -1·3 + 0·1

23 + 3 1

^^Совсем аккуратно: элемент c_j вычисляется но формуле c_j = a₁b1j + aj2b2j + · · · + aj„b

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 6

Уже эти примеры показывают, что A ■ В = В ■ A.

Отметим равенства: A + 0 = 0 + A = A, A-A = 0,A-0 = 0-A = 0,

A-Е = Е-A = A.

Здесь Е — единичная, а О — нулевая матрицы соответствующих размеров. Отметим тоясдество:

(AВ) = В'A'.

Пример 6. Пусть для изготовления одного стула требуется 4 единицы древесины и 1 единица материи, а для изготовления одного кресла требуется 6 единиц древесины и 5 единиц материи. Преднолоясим, что мы хотим изготовить х стульев и у кресел. Тогда расход материалов описывается следующим произведением матриц

древесина

материя

46 15

1.3 Определители второго порядка

Определителем матрицы A = all all размера 2x2 называют число a ₁₁ a ₂2-a12a215 обозначаемое символами

a11 a12 a21 a22

∆, detA, \A\,

Это правило удобно представлять себе в виде рис. 1.

Рис. 1: Диаграмма для вычисления определителя 2-го порядка.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

21 Пример 7. Ьсли A = 4' то

∆

21 34

2 · 4 - 1 · 3 = 5.

Замечание 1. Определители первого порядка обычно не рассматривают. Удобно счи-татв, что определителв матрицв:, состоящей из одного числа (т. е. матрицв: размера 1x1), равен этому числу.