1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя

Укажем еще один способ вычисления определителей n-го порядка. Напомним (§ 1.5) некоторые свойства определителей:

2) если переставить две строки (или два столбца), то определитель поменяет знак;

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

11

4) если строку (столбец) умноясить на число, то и определитель умножится на это число; общий множитель из строки (столбца) мож;но выносить за знак опреде­лителя;

8) если к одной строке (или столбцу) прибавить другую, умноженную на число, то определитель пе изменится.

Перечисленные в этих свойствах преобразования называют элементарными. С по­мощью элементарных преобразований определитель приводят к треугольному виду, после чего он вычисляется с помощью свойства 9: определитель треугольной матри­цы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 13. Вычислим определитель из предыдущего примера методом элементар­ных преобразований. ЭТАП 1: Сформируем сначала нули в первом столбце под диаго­налью. Для этого прибавим к третьей строке первую, умнож;епную па 6, а к четвертой — первую, умнож;епную па 3. В результате получим

1	2
0	2
6	1
3	-1

30
21
01
12

1	2	30
0	2	-2 1
0	13	18 1
0	5	10 2

ЭТАП 2: Сформируем нули во втором столбце под диагональю. Сначала поме­няем местами 2-й и 4-й столбцы, после чего к третьей строке прибавим вторую, умпож;еппую на -1, а к четвертой — вторую, умнож;еппую на -2:

12 02 0 13 05

30
21
81
02

10 3 2

0 1 -2 2

0 1 18 13

0 2 10 5

10 3 2

0 1 -2 2

0 0 20 11

0 0 14 1

ЭТАП 3: Сформируем нули в третьем столбце под диагональю. К четвертой стро-

14 7

ке прибавим третью, умпож;еппую па - — = -10-

-103 2

0 1-2 2

0 0 20 11

0 0 0 -67/10

(-1) · 1 · 20 · (-67/10) = -134.

10 3 2

0 1 -2 2

0 0 20 11

0 0 14 1

В конце мы воспользовались правилом вычисления определителя треугольной матрицы.

1.10 Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу A размера m×n. Возьмем число k, меньшее или равное как m, так и n. Выделим в матрице любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-то порядка. Его

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

12

называют минором матрицы A порядка к. Очевидно, что мииоров порядка к, вообще говоря, много.

Рангом матрицы A называют наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Иными словами, число г называют рангом ненулевой матрицы A, если: 1) у матрицы A есть ненулевой минор порядка г; 2) всякий минор порядка г + 1 и выше равен нулю. Ранг матрицы A обозначают символом rang A.

Ранг матрицы, состоящей из одних нулей, равен нулю.

Всякий ненулевой минор матрицы, порядок которого равен рангу, называют ба­зисным минором. Строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называют базисными строками и базисными столбцами. Замечание 2. Из определения ранга непосредственно следует, что если определитель квадратной матрицы A отличен от нуля, то rang A = п. Пример 14. Рассмотрим матрицу

3 4

-1 2

2 6

Нетрудно проверить, что все ее миноры 3-го порядка равны пулю:

2 1 3

3		1 2 4
1	=	0 1 2	=
2		1 3 6

= 0.

= 1 = 0.

А минор 2-го порядка

Поэтому rang A = 2. Напомним, что

1 2

1. 1

2. 3