- •1 Матрицы и определители 3
- •Основные понятия 29
- •Основные понятия 36
- •Глава 1
- •1.1 Матрицы
- •1.2 Операции над матрицами
- •1.3 Определители второго порядка
- •1.4 Определители третьего порядка
- •1.5 Свойства определителей
- •1.6 Символ суммирования
- •1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя
- •1.10 Ранг матрицы
- •1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга
- •Глава 2
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Метод Крамера
- •2.4 Метод обратной матрицы
- •2.5 Матричные уравнения
- •2.6 Метод Гаусса
- •2.7 Несовместная система
- •2.8 Неопределенная система
- •2.9 Система линейных однородных уравнений
- •2.10 Понятие о модели Леонтьева
- •Глава 3
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Числовая проекция вектора
- •3.3 Декартова система координат
- •3.4 Скалярное произведение
- •Глава 4
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Линейная независимость
- •4.3 Размерность и базис
- •4.5 Ортогональные векторы
- •Глава 5
- •5.1 Понятие линейного оператора
- •5.2 Матрица линейного оператора
- •5.3 Собственные значения и собственные векторы
- •Глава 6
- •6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица
- •6.2 Канонический вид и закон инерции
- •Глава 7
- •7.1 Уравнение линии на плоскости
- •7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •7.3 Общее уравнение прямой
- •7.4 Уравнение прямой,
- •7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение
- •7.7 Выделение полного квадрата
- •7.8 Эллипс
- •7.9 Гипербола
- •7.10 Парабола
- •7.11 Уравнение плоскости
- •7.12 Уравнение прямой
1.6 Символ суммирования
Для сокращенного обозначения суммы нескольких однотипных слагаемых используют символ ^. Правила его использования аналогичны использованию оператора цикла DO в программировании.
3
Выраясение Y1 k2 читают так: "сумма по k от 1 до 3 выраясепий k2". Это выраясе-k=1 ние является сокращенной записью суммы 12 + 22 + 32.
Пример 9.
^А 1 = 1 1 1 1 ^m2 + 3 + 4 + 5 ,
m=2
Y,i2 = 32 + 42 + ··· + n2,
i=3
n
cij =aikbkj.
k=1
1.7 Миноры и алгебраические дополнения
Вычеркнем из определителя i-ю строку и j-й столбец. В результате получим определитель меньшего порядка, который называют минором элемента aij и обозначают Mij. А величину
Aij = (-1)i+jMi
называют алгебраическим дополнением элемента aij.
1 -3 -1
Пример 10. Если ∆ =
2 3 6 , то 4 0-2
M=
M=
1 -3
4
0
A23 =(-1)2+3 · M23
3 -1
3
6
A 31
=(-1)3+1 · M
-1 · 12 = -12, = -18 + 3 = -15, 31 = 1 · (-15) = -15.
Свойство 11 (теорема Лапласа). Сумма произведений элементов aij произвольной строки {плп столбца) определителя на алгебраические донолнення Aij этих элементов равна определителю:
∆ = > aijAij, i = 1,2, 3,
^—'j =1
j = 1,2,3.
∆= aijAij,
i=1
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
10
Эти формулы называют правилами раскрытия (разлоснсения) определителя по строке (по столбцу).
Пример 11. Вычислим определитель, разлоясив его по первому столбцу:
|
|
1 |
-2 3 |
|
|
||
∆ = |
-1 4 |
06 -5 2 |
= |
|
|||
0 6 -5 2 |
-(- |
1) · |
-2 3 -5 2 |
+ 4· |
-2 3 0 6 |
||
= 1·
= 1 · (0 + 30) + 1 · (-4 + 15) + 4 · (-12 - 0) = = 30 + 11 - 48 = -7.
1.8 Определители n-го порядка
в качестве определения определителя n-го порядка примем формулы из свойства 11
∆ = У aijAij, L—/j=1
∆ =2.i aijAij,
i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n.
Эти формулы позволяют понизить порядок определителя, т. е. свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителей (n - 1)-го порядка.
Пример 12. Вычислим определитель четвертого порядка, раскрывая его по первому столбцу:
1 |
2 |
0 |
2 |
6 |
1 |
3 |
-1 |
30 |
|
21 01 |
= -1 · |
12 |
|
2 1 1
21 |
|
01 |
-0· |
12 |
|
230 101 112
2 |
30 |
|
2 |
-2 1 |
-3· |
1 |
12 |
|
= -1 · (2 + 1 - 2 + 4)+
2 3 0 2 -2 1 1 0 1
+6 · (-8 - 3 - 2 - 12) - 3 · (-4 + 3 - 6) =
= 5 150 + 21 = 134.