
- •1 Матрицы и определители 3
- •Основные понятия 29
- •Основные понятия 36
- •Глава 1
- •1.1 Матрицы
- •1.2 Операции над матрицами
- •1.3 Определители второго порядка
- •1.4 Определители третьего порядка
- •1.5 Свойства определителей
- •1.6 Символ суммирования
- •1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя
- •1.10 Ранг матрицы
- •1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга
- •Глава 2
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Метод Крамера
- •2.4 Метод обратной матрицы
- •2.5 Матричные уравнения
- •2.6 Метод Гаусса
- •2.7 Несовместная система
- •2.8 Неопределенная система
- •2.9 Система линейных однородных уравнений
- •2.10 Понятие о модели Леонтьева
- •Глава 3
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Числовая проекция вектора
- •3.3 Декартова система координат
- •3.4 Скалярное произведение
- •Глава 4
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Линейная независимость
- •4.3 Размерность и базис
- •4.5 Ортогональные векторы
- •Глава 5
- •5.1 Понятие линейного оператора
- •5.2 Матрица линейного оператора
- •5.3 Собственные значения и собственные векторы
- •Глава 6
- •6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица
- •6.2 Канонический вид и закон инерции
- •Глава 7
- •7.1 Уравнение линии на плоскости
- •7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •7.3 Общее уравнение прямой
- •7.4 Уравнение прямой,
- •7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение
- •7.7 Выделение полного квадрата
- •7.8 Эллипс
- •7.9 Гипербола
- •7.10 Парабола
- •7.11 Уравнение плоскости
- •7.12 Уравнение прямой
7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение
Уравнением 2-го порядка называют уравнение вида
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.
Линию, задаваемую уравнением 2-го порядка, называют кривой 2-го порядка.
При замене координат уравнение может упрощаться. Путем поворота системы координат моясно добиться того, чтобы a12 = 0, а путем сдвига, как правило, дополнительно — чтобы b1 = b2 = 0. Получающееся уравнение называют каноническим.
Нормальным уравнением окружности называют уравнение
x
y2
R2.
Оно задает окружность радиуса R с центром в начале координат. Сдвигая начало координат в точку ( x 0,y 0), получаем уравнение
( x - x 0)2 + ( y- y 0)2 = R 2.
Правило. Кривая F(x - x 0 ,y - y 0 ) = 0 получается из кривой F(x,y) сдвигом вправо на x 0 и сдвигом вверх на y 0-
Xy0
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
54
Задача 32. Изобразить кривую (x - 5)2 + (y + 3)2 = 4.
Решение. Это — окруясность, получающаяся из окружности x 2 + y2 = 4 путем сдвига па вектор (5, -3). Окружность x2 + y2 = 4 имеет радиус 2. П
X
-1
-3
Рис. 5: Окруж;ности
7.7 Выделение полного квадрата
Полным квадратом называют выраж;ение
поскольку его можно преобразовать к виду (a + b)2. Выделение полного квадрата — важная процедура при построении кривых второго порядка. Например, уравнение
ax 2 + ay 2 + 2bix + 2b2y + c = 0,
называемое общим уравнением окружности, всегда можно привести к виду
(x - xо)2 + (y - yо)2 = R 2.
Задача 33. Выделить полный квадрат в выраж;ении x2 - 6x + 5.
Решение. Имеем
x2 - 6x + 5 = x2 - 2x · 3 + 32 - 32 + 5
= (x2 - 2x · 3 + 32) - 4 = (x - 3)2 - 4.
Такое преобразование удобно, например, для построения графика функции y = x2
6x + 5. -
Задача 34. Построить кривую x2 - 10x + y 2 + 6y + 30 = 0.
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
55
Решение. Выделяем полные квадраты:
Получилось
уравнение из задачи 32.
x2 - 2x · 5 + y2 + 2y · 3 + 30 = 0
x2 - 2x · 5 + 52 - 52 + y2 + 2y · 3 + 32 - 32 + 30 = 0
(x2 - 2x · 5 + 52) + (y2 + 2y · 3 + 32) + 30 - 52 - 32 = 0
(x - 5)2 + (y + 3)2 - 4 = 0.
7.8 Эллипс
Эллипсом называют кривую, заданную уравнением
x2 y2
+ a2 b2
1.
А само уравнение называют каноническим уравнением эллипса. Числа a иb называют полуосями, а точки пересечения с осями — вершинами.
Точки с координатами
(c, 0)
и (—c, 0),
где c =
^a"^
— b^,
называют фокусами.
Задача 35. Определить вид и расположение кривой x^ — 6x + 4y^ — 16y + 21 приведя ее уравнение к каноническому виду.
= 0,
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
56
Решение. Выделяем полные квадраты:
х2 -6х + 4 2 - 16у + 21 = 0
ж2 - 2ж · 3 + 4(у2 - 2 · у · 2) + 21 = 0
ж2 - 2ж · 3 + 32 - 32 + 4(у2 - 2 · у · 2 + 22 - 22) + 21 = 0
(х2 -2х·3 + 32) + 4(у2 - 2 · у · 2 + 22) + 21 - 32 - 4 · 22 = 0
(ж-3)2 + 4(у-2)2-4 = 0
22 12
Получился эллипс с центром в точке (3,2) и полуосями 2 и 1. В качестве вспомогательного построения сначала рисуем прямоугольник с нужными полуосями. П
Рис. 7: Эллине из задачи 35