
- •1 Матрицы и определители 3
- •Основные понятия 29
- •Основные понятия 36
- •Глава 1
- •1.1 Матрицы
- •1.2 Операции над матрицами
- •1.3 Определители второго порядка
- •1.4 Определители третьего порядка
- •1.5 Свойства определителей
- •1.6 Символ суммирования
- •1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя
- •1.10 Ранг матрицы
- •1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга
- •Глава 2
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Метод Крамера
- •2.4 Метод обратной матрицы
- •2.5 Матричные уравнения
- •2.6 Метод Гаусса
- •2.7 Несовместная система
- •2.8 Неопределенная система
- •2.9 Система линейных однородных уравнений
- •2.10 Понятие о модели Леонтьева
- •Глава 3
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Числовая проекция вектора
- •3.3 Декартова система координат
- •3.4 Скалярное произведение
- •Глава 4
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Линейная независимость
- •4.3 Размерность и базис
- •4.5 Ортогональные векторы
- •Глава 5
- •5.1 Понятие линейного оператора
- •5.2 Матрица линейного оператора
- •5.3 Собственные значения и собственные векторы
- •Глава 6
- •6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица
- •6.2 Канонический вид и закон инерции
- •Глава 7
- •7.1 Уравнение линии на плоскости
- •7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •7.3 Общее уравнение прямой
- •7.4 Уравнение прямой,
- •7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение
- •7.7 Выделение полного квадрата
- •7.8 Эллипс
- •7.9 Гипербола
- •7.10 Парабола
- •7.11 Уравнение плоскости
- •7.12 Уравнение прямой
Глава 7
Элементы аналитической геометрии
7.1 Уравнение линии на плоскости
с интуитивной точки зрения линия — это след, оставляемый двиясущейся точкой.
Уравнением линии называют уравнение, которому удовлетворяют координаты каясдой точки, нринадлеясащей данной линии, но не удовлетворяют координаты любой точки, не иринадлеясатдей данной линии. Например, y = x"^, x^ + y^ = 1.
Правило: Чтобы проверить, иринадлеясит ли точка липни, надо координаты точки подставить в уравнение линии.
Различают два тина уравнений:
y = f(x), (7.1)
F(x,y) = 0. (7.2)
Примеры таких уравнений:
y = ex, x^ + y^ = 1.
В уравнении (7.1) неизвестная y явно выраясена через x. Такой способ задания называют явным. Чтобы, зная x, с помощью уравнения (7.2) найти y, надо это уравнение решить. Такой способ задания называют неявным.
Правило: чтобы найти точку (точки) пересечения двух линий, надо выписать систему, состоящую из уравнений этих линий, и решить ее.-*-)
7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнением прямой с угловым коэффициентом называют уравнение вида
y = kx + b.
В нем коэффициент k имеет геометрический смысл тангенса угла меясду осью X и прямой.^) Число k называют угловым коэффициентом прямой. Если k > 0, то
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
50
Рис. 1: Слева: k > 0; справа k < 0
график прямой возрастает. А если k < 0, то график прямой убывает. Число b имеет геометрический смысл координаты точки пересечения прямой с осью Y.
Правило: Угловой коэффициент — это то, па что умножается x в явном уравнении прямой. Примеры: 2y + 4x = 6 и y = —2x + 3.
■•■^Часто это правило формулирует не виолне корректно: надо приравнять у. Это путь можно реализовать только при условии, что оба уравнения являются явными. ■^Ютсчитываемого в нанравлении от оси к прямой.
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
51
Задача 29. Составьте уравнение прямой, проходящей через заданную точку ( xо,yо) с заданным угловым коэффициентом k.
Решение. Ответом является уравнение
y - y0 = k(x - x0).
Эту формулу надо знать наизусть.
7.3 Общее уравнение прямой
Не все прямые можно задать уравнением с угловым коэффициентом. А именно, исключением является вертикальная прямая (см. рис. 2):
x = a.
Общим уравнением прямой называют уравнение
Ax + By + C = 0
в предположении, что хотя бы одно из чисел A, B не равно нулю. Это уравнение охватывает все типы прямых.
Рис. 2: Вертикальная прямая
7.4 Уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки
Задача 30. Составьте уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ( xо,yо) и (xi,yi).
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
52
Решение. Ответом является уравнение
y -y0
x-x0
y1 -y0 x1 -x0
Универсальный способ построения прямых: надо нарисовать две точки, лежащие на прямой, и провести через них прямую.
7.5 Условие параллельности
и перпендикулярности прямых
Теорема 38. Пусть даны две прямые y = kix + bi и y = k2x + b 2- Для того чтобы эти прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
k1 =k2.
Для того, чтобы прямые были перпеидикуляриы, необходимо и достаточно, чтобы
k1k2
1.
Задача 31. Дана прямая 2y + 3x —7 = 0. Составьте уравнения двух прямых, проходящих через точку (5,9), одна из которых параллельна, а другая — перпендикулярна исходной.
Решение. Выясним, какой угловой коэффициент у исходной прямой: (Угловой коэффициент — это то, на что умножается x в явном уравнении прямой.)
37 y = -2x + 2,
k1 =
Выпишем уравпепие параллельной прямой (используя задачу 29: y — yо = k( x
xо)):
y - 9 = -2(x - 5).
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
53
Выпишем уравнение иернендикулярной прямой (используя условие перпендикулярности k1k2 = -1):
2 y-9 = -( x-5).
П